|
ГЛАВНАЯ
> Вернуться к содержанию
Кибернетика и программирование
Правильная ссылка на статью:
Литвинов В.А.
О чувствительности потока частиц к вариациям коэффициента диффузии
// Кибернетика и программирование.
2019. № 4.
С. 7-14.
DOI: 10.25136/2644-5522.2019.4.29297 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=29297
О чувствительности потока частиц к вариациям коэффициента диффузии
Литвинов Владимир Андреевич
кандидат физико-математических наук
доцент Барнаульского юридического института МВД России
656038, Россия, Алтайский край, г. Барнаул, ул. Чкалова, 49
Litvinov Vladimir Andreevich
PhD in Physics and Mathematics
Docent, the department of Informatics and Special Technology, Barnaul Law Institute of the Ministry of Internal Affairs of Russia
656038, Russia, Altaiskii krai, g. Barnaul, ul. Chkalova, 49
|
lva201011@yandex.ru
|
|
 |
Другие публикации этого автора
|
|
|
DOI: 10.25136/2644-5522.2019.4.29297
Дата направления статьи в редакцию:
21-03-2019
Дата публикации:
15-12-2019
Аннотация:
Предметом исследования работы является чувствительность экспериментально наблюдаемых характеристик потока частиц и излучений к вариациям параметров модели взаимодействия частиц со средой. Объектом исследования является диффузионный поток частиц, распространяющихся в неограниченной среде. Автором рассмотрены вариации потока частиц, обусловленные изменением коэффициента диффузии как с течением времени, так и в различных точках пространства. Подчеркивается, что полученные в работе выражения могут рассматриваться как постановка обратной задачи в форме интегральных уравнений первого рода. Методом исследования является вариационный анализ и численный эксперимент. Обоснование метода основывается на сравнении результатов расчетов по предложенному методу и полученных путем численного уравнения диффузии разностным методом Основными выводами проведенного исследования являются полученные выражения для функции чувствительности диффузионного потока к функциональным вариациям коэффициента диффузии. Новизна исследования заключается в формулировки обратной задачи определения функционального вида коэффициентов уравнения диффузии (теплопроводности) через функцию чувствительности потока частиц к вариациям искомых параметров.
Ключевые слова:
диффузия, теплопроводность, чувствительность, обратная задача, дифференциальные уравнения, вариации, интерполирование, численные методы, функция Грина, функционал
Abstract: The subject of the study is the sensitivity of the experimentally observed characteristics of the particle and radiation flow to variations in the parameters of the model of interaction of particles with the medium. The object of study is the diffusion flow of particles propagating in an unlimited medium. The author considers the variations in particle flux due to changes in the diffusion coefficient both over time and at different points in space. It is emphasized that the expressions obtained in this work can be considered as a statement of the inverse problem in the form of integral equations of the first kind. The research method is variational analysis and numerical experiment. The justification of the method is based on a comparison of the results of calculations by the proposed method and those obtained by the numerical diffusion equation by the difference method. The main conclusions of the study are the expressions for the function of the sensitivity of the diffusion flux to functional variations of the diffusion coefficient. The novelty of the study lies in the formulation of the inverse problem of determining the functional form of the coefficients of the diffusion equation (thermal conductivity) through the function of the sensitivity of the particle flux to variations of the desired parameters.
Keywords: diffusion, thermal conductivity, sensitivity, inverse problem, differential equations, variations, interpolation, numerical methods, green's function, functional
Введение. Значительная часть теоретических расчетов наблюдаемых в экспериментах величин производится с целью проверки тех или иных предположений о характере среды или параметров физической модели, описываемой изучаемое явление (процесс). Вычисления наблюдаемых физических величин принято называть прямой задачей. Определение же количественных характеристик модели по экспериментально наблюдаемым величинам на основе теоретических расчетов принято называть обратной задачей.
Широкое освещение в научной литературе получили обратные задачи физических процессов, описываемых параболическим уравнением теплопроводности (диффузии). При этом соответствующие задачи встречаются в различных отраслях производства и продолжают вызывать интерес у научного сообщества [1–3].
В большинстве случаев решение обратной задачи сводится к параметризации физической модели изучаемого процесса с дальнейшим определением количественных значений этих параметров на основе лучшего совпадения результатов теоретических расчетов с экспериментально измеренными значениями. При этом сама процедура параметризации физической модели зачастую неоднозначна, а вводимые параметры требуют дополнительного физического толкования.
Обратные задачи диффузии (теплопроводности) относятся к классу некорректно поставленных задач. Но даже при наличии достаточно точных алгоритмов решения обратной задачи остается вопрос о влиянии ошибок экспериментальных измерений на точность восстановления исследуемого параметра.
В самом общем случае измеряемая величина J может быть представлена как некий функционал от параметров модели a(×), которые могут быть функциями набора переменных задачи. Например, для уравнения диффузии коэффициент диффузии может зависеть от времени и пространственных координат. Точность определения a(t,x) будет зависеть от степени чувствительности измеряемого в эксперименте потока частиц Ф(t,x) к вариациям функционального вида a(t,x).
Методы расчета чувствительности функционалов к параметрам модели
В работах [4,5] для расчета чувствительности потоков частиц к параметрам используемой модели их взаимодействия со средой предложено использовать параметрические или функциональные производные по параметрам модели. Данный метод можно также применить и к уравнению диффузии (теплопроводности):
В зависимости от условий задачи уравнение (1) дополняется краевыми и начальными условиями. В дальнейшем будем рассматривать диффузию в неограниченном пространстве от точечного мгновенного источника, что соответствует:
где  — дельта функции Дирака. Функцию источника (2) можно заменить начальным условием:
 (3)
Если регистрируемой величиной Jявляется поток Ф(t,x), то функцию чувствительности можно определить как:
При этом:
Проварьируем уравнение (1) по параметру a, предполагая, что он зависит только от времени:
Уравнение (6) аналогично уравнению (1) с мгновенным источником в момент времени t1. Решение уравнения (6) для постоянного a может быть выражено через функцию Грина для уравнения (1), которая имеет вид:
Решение уравнения (1) с источником (2) для постоянного a имеет вид:
Решение уравнения (6) для функции чувствительности может быть записано как свертка функции Грина(7) и второй производной Ф по пространственной координате:
На рис. 1 приведена зависимость функции чувствительности (9) от координаты х и момента времени t1 варьирования коэффициента a для момента наблюдения t=50. Ожидаемо, что чувствительность потока Ф к вариациям коэффициента диффузии в момент времени, совпадающий с временем наблюдения (t1 = t) равна нулю. Максимальной по модулю является чувствительность потока в начале координат. С удалением от начала координат увеличивается чувствительность к вариациям коэффициента диффузии в более ранние моменты времени.
Приведенные выше рассуждения качественно можно было бы сделать из понимания природы процесса диффузии. Но выражение (9) позволяет рассчитать также количественные значения вариации потока частиц. Если за основу взять решение уравнения (1) с постоянным a, то изменение потока, вызванное зависимостью a(t), можно вычислить по формуле:
На рис. 2 приведены результаты расчета вариации потока Ф, обусловленные добавлением в коэффициент диффузии a сомножителя (1+0.05t), определяющего зависимость от времени.
Рис.1. Зависимость функции чувствительности от xи t1 при t=50
Рис. 2. Вариация Ф(t,x), вычисленная по функции чувствительности
Выражение (10) можно рассматривать как уравнение Вольтерры I рода для нахождения функциональной зависимости a(t). Такую задачу имеет смысл решать, если вариации функционала удовлетворительно описываются формулой (10). На рис. 3 и 4 приведены результаты расчета потока частиц Ф(t,x) для a =(1+0.05t), полученные путем решения уравнения (1) разностным методом (пакет MatLab) и по формуле (10), когда за основу взято решение уравнения (1) для постоянного a=1. Из данных рисунков видно, что формула (10) позволяет удовлетворительно описать боле 20% вариации потока.
Рис.3. Зависимость Ф от координаты. — – численное решение уравнения (1) разностным методом (MatLab); - - - — решение (1) для t=15 при a=1, .-.- – решение (1) для t=5 при a=1; о, + — расчет по формуле (10)
Рис.4. Зависимость Ф от времени. — – численное решение уравнения (1) разностным методом (MatLab); - - - — решение (1) для t=5 при a=1, .-.- – решение (1) для t=15 при a=1; о, + — расчет по формуле (10)
Аналогично (6) можно записать уравнение для функции чувствительности потока частиц к пространственным вариациям коэффициента диффузии
С учетом выражений (7) и (8) функцию чувствительности к пространственным вариациям коэффициента диффузии можно записать в виде:
Выражение (12) может быть использовано для вычисления вариации потока частиц, обусловленных пространственными вариациями коэффициента диффузии:
На рис. 5 приведены результаты расчета потока частиц Ф(t,x) для a(x)= (1.+0.05x2). В качестве базового выбрано решение уравнения (1), соответствующее постоянному коэффициенту диффузии.
Рис. 5. Поток частиц Ф(t=10,x). — – решение разностным методом; + — расчет по (13); - - - — решение, соответствующее a=1, взятое за основу для (13)
Как и в случае с временными вариациями, выражение (13) позволяет удовлетворительно описать 15–20% изменения функционала.
Выражение (13) можно рассматривать как уравнение Фредгольма первого рода для нахождения вариации коэффициента диффузии a по измеренным отклонениям потока частиц dФ от некоего модельного решения, взятого за основу. Для решения таких уравнений можно воспользоваться методом регуляризации, предложенным А.Н. Тихоновым [6].
Выражения (10) и (13) фактически соответствуют первому порядку теории возмущений, используемой для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. В том случае, когда наблюдаемые значения функционала значительно отличаются от модельных, необходимо изменять модель, чтобы получить удовлетворительный результат при помощи первого приближения теории возмущений.
Заключение
Продемонстрированный в работе метод расчета чувствительности функционалов к вариациям параметров модели прохождения частиц через вещество позволяет получить наглядное представление о степени влияния той или иной области вариаций этих параметров на измеряемые характеристики, что имеет важное значение при решении обратных задач.
Другим способом описать значительные вариации функционала, не прибегая к высшим порядкам теории возмущений, является метод вариационного интерполирования, продемонстрированный в работах [7,8] применительно к задачам распространения электромагнитных волн и космических частиц. Данный метод лишь незначительно превышает по объему вычислений первый порядок теории возмущений, существенно расширяя область описываемых вариаций наблюдаемых величин.
Библиография
1. Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности. В 2 т.– Киев: Наукова думка, 2002.
2. Япарова Н.М. Метод решения обратной задачи идентификации функ-ции источника с использованием преобразований Лапласа // Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика, 2016, Т.5, №3. – С.20–35. DOI: 10.14525/cmse160302.
3. Дмитриев О.С., Мищенко С.В., Серегин А.Ю. Прямая и обратная задачи теплопроводности и диффузии в процессе прессования древесностружечных плит Вестник ТГТУ, 2003, т.9, №2. – С. 243–251.
4. Литвинов B.А., Учайкин B.B. Вариации ценности в проблеме изучения широких атмосферных ливней. Pyк. дeп. в BИНИТИ, 1985, № 7l50-B. Аннотация: Известия вузов. Физика. 1986. Т. 29. № 2. С. 128.
5. Литвинов B.А., Учайкин B.B. Метод функциональных производных в проблеме чувствительности ШАЛ.– Pyк. Дeп. в ВИНИТИ 1986, № 8907-B86. Аннотация: Известия вузов. Физика, 1986. Т. 29. № 12. С. 96.
6. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР, 1963, т.151, №3. – C. 501–504.
7. Учайкин В.В., Литвинов В.А. Вариационный метод интерполирования в теории переноса излучений // Оптика атмосферы и океана, 1989, №2. – С. 36–40.
8. Литвинов В.А. Вариационное интерполирование в проблеме чувстви-тельности характеристик каскадных процессов // Ядерная физика, 1993, т.56, №2. – С.244–254.
References
1. Matsevityi Yu.M. Obratnye zadachi teploprovodnosti. V 2 t.– Kiev: Naukova dumka, 2002.
2. Yaparova N.M. Metod resheniya obratnoi zadachi identifikatsii funk-tsii istochnika s ispol'zovaniem preobrazovanii Laplasa // Vestnik YuUrGU. Seriya: Vychislitel'naya matematika i informatika, 2016, T.5, №3. – S.20–35. DOI: 10.14525/cmse160302.
3. Dmitriev O.S., Mishchenko S.V., Seregin A.Yu. Pryamaya i obratnaya zadachi teploprovodnosti i diffuzii v protsesse pressovaniya drevesnostruzhechnykh plit Vestnik TGTU, 2003, t.9, №2. – S. 243–251.
4. Litvinov B.A., Uchaikin B.B. Variatsii tsennosti v probleme izucheniya shirokikh atmosfernykh livnei. Pyk. dep. v BINITI, 1985, № 7l50-B. Annotatsiya: Izvestiya vuzov. Fizika. 1986. T. 29. № 2. S. 128.
5. Litvinov B.A., Uchaikin B.B. Metod funktsional'nykh proizvodnykh v probleme chuvstvitel'nosti ShAL.– Pyk. Dep. v VINITI 1986, № 8907-B86. Annotatsiya: Izvestiya vuzov. Fizika, 1986. T. 29. № 12. S. 96.
6. Tikhonov A.N. O reshenii nekorrektno postavlennykh zadach i metode regulyarizatsii // Dokl. AN SSSR, 1963, t.151, №3. – C. 501–504.
7. Uchaikin V.V., Litvinov V.A. Variatsionnyi metod interpolirovaniya v teorii perenosa izluchenii // Optika atmosfery i okeana, 1989, №2. – S. 36–40.
8. Litvinov V.A. Variatsionnoe interpolirovanie v probleme chuvstvi-tel'nosti kharakteristik kaskadnykh protsessov // Yadernaya fizika, 1993, t.56, №2. – S.244–254.
Результаты процедуры рецензирования статьи
В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.
Предмет исследования – определение чувствительности потока частиц к вариациям коэффициента диффузии (решение обратной задачи диффузии и теплопроводности).
Методология исследования основана на сочетании теоретического (теория возмущений) и расчётного подходов с применением методов анализа, моделирования, сравнения, обобщения, синтеза.
Актуальность исследования обусловлена важностью проведения как теоретических расчётов наблюдаемых в экспериментах величин, так и определения количественных характеристик модели по экспериментально наблюдаемым величинам на основе теоретических расчётов в современных исследованиях и, соответственно, необходимостью обоснования решения обратной задачи, в том числе для диффузии и теплопроводности.
Научная новизна автором в явном виде не выделена и, по-видимому, связана с построением алгоритма решения вопроса о влиянии ошибок экспериментальных измерений на точность восстановления исследуемого параметра на примере некорректно поставленных обратных задач диффузии (теплопроводности).
Стиль изложения научный. Статья написана русским литературным языком.
Структура рукописи включает следующие разделы (в виде отдельных пунктов не выделены, не озаглавлены): Введение (теоретические расчёты наблюдаемых в экспериментах величин – прямая задача, определение количественных характеристик модели по экспериментально наблюдаемым величинам на основе теоретических расчётов – обратная задача, обратные задачи физических процессов, описываемых параболическим уравнением теплопроводности (диффузии), Решение обратной задачи (параметризация физической модели изучаемого процесса, обратные задачи диффузии (теплопроводности) (класс некорректно поставленных задач, измеряемая величина J как некий функционал от параметров модели a (× ), набор переменных), Расчёт чувствительности потоков частиц к параметрам используемой модели их взаимодействия со средой (параметрические или функциональные производные по параметрам модели, краевые и начальные условия, диффузия в неограниченном пространстве от точечного мгновенного источника, поток Ф(t , x ), функция чувствительности, функция Грина, зависимость функции чувствительности от координаты х и момента времени t 1 варьирования коэффициента a для момента наблюдения t = 50, количественные значения вариации потока частиц, вариация Ф (t , x ), вычисленная по функции чувствительности, уравнение Вольтерры I рода для нахождения функциональной зависимости a(t ), зависимость Ф от координаты, зависимость Ф от времени, вычисление вариации потока частиц, обусловленных пространственными вариациями коэффициента диффузии, поток частиц Ф (t = 10, x ), уравнение Фредгольма первого рода для нахождение вариации коэффициента диффузии a по измеренным отклонениям потока частиц dФ от некоего модельного решения, метод регуляризации, метод вариационного интерполирования), Библиография.
Наряду со «Введением», желательно оформить «Заключение» (выводы).
Текст содержит пять рисунков. Точки в названиях рисунков следует удалить, для обозначения линий использовать графические (не словесные) маркеры. Обозначения дельта-функции Дирака в формуле (2) и пояснении к ней различаются (δ и d соответственно). Текст, предшествующий формулам, завершается двоеточием.
Содержание в целом соответствует названию. В то же время желательно пояснить, в какой мере полученные решения относятся к обратной задаче теплопроводности. Желательно пояснить выбор значений параметров, для которых представлены решения искомых уравнений, будут ли эти решения иными при других значениях. Необходимо указать программные средства, с использованием которых проводилось решение уравнений и графическое представление полученных результатов.
Библиография включает восемь источников отечественных авторов – монографии, научные статьи, депонированные рукописи. Библиографические описания некоторых источников нуждаются в корректировке в соответствии с ГОСТ и требованиями редакции, например:
1. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности : в 2 т. – Киев : Наукова думка, 2002.
2. Япарова Н. М. Метод решения обратной задачи идентификации функ-ции источника с использованием преобразований Лапласа // Вестник ЮУрГУ. Серия : Вычислительная математика и информатика. 2016. Т. 5. № 3. С. 20–35.
3. Дмитриев О. С., Мищенко С. В., Серегин А. Ю. Прямая и обратная задачи теплопроводности и диффузии в процессе прессования древесностружечных плит // Вестник ТГТУ. 2003. Т. 9. № 2. С. 243–251.
4. Литвинов B. А., Учайкин B. B. Вариации ценности в проблеме изучения широких атмосферных ливней. – Место издания ??? : Год издания ???. – Дeп. в BИНИТИ, ДД???.ММ???.1985, № 7l50-B.
Возможно излишнее самоцитирование (Литвинов B. А., Учайкин B. B.).
Апелляция к оппонентам (Мацевитый Ю. М., Япарова Н. М., Дмитриев О. С., Мищенко С. В., Серегин А. Ю., Тихонов А. Н. и др.) имеет место.
Замечен ряд опечаток: где d(t), d(t) — дельта функции Дирака – где δ(х), δ(t) — дельта функции Дирака; Максимальной (???) по модулю чувствительность потока в начале координат; Сплошные линии — численное решение уравнения (1) разностным методом; пунктир — решение (1) для t = 15 при a=1, точки – решение (1) для t = 5 при a=1; о, + — расчет по формуле (10)/ – Сплошные линии – численное решение уравнения (1) разностным методом; пунктир – решение (1) для t = 15 при a=1, точки – решение (1) для t = 5 при a=1; о, + – расчёт по формуле (10) (УДАЛИТЬ КОСУЮ ЧЕРТУ); Выражение (13) можно рассматривать как уравнение Фредгольма первого рода для нахождение вариации коэффициента диффузии – Выражение (13) можно рассматривать как уравнение Фредгольма первого рода для нахождения вариации коэффициента диффузии.
В целом рукопись соответствует основным требования, предъявляемым к научным статьям. Материал представляет интерес для читательской аудитории и после доработки может быть опубликован в журналах «Программные системы и вычислительные методы» (желательно), «Кибернетика и программирование» (рубрика «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент»).
Ссылка на эту статью
Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также
попробовать найти похожие
статьи
|
|
