Статья 'О математическом содержании понятия связанности ссудозаемщиков' - журнал 'Кибернетика и программирование' - NotaBene.ru
по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > О журнале > Требования к статьям > Редакция и редакционный совет > Порядок рецензирования статей > Политика издания > Ретракция статей > Этические принципы > Политика открытого доступа > Оплата за публикации в открытом доступе > Online First Pre-Publication > Политика авторских прав и лицензий > Политика цифрового хранения публикации > Политика идентификации статей > Политика проверки на плагиат
Журналы индексируются
Реквизиты журнала

Публикация за 72 часа - теперь это реальность!
При необходимости издательство предоставляет авторам услугу сверхсрочной полноценной публикации. Уже через 72 часа статья появляется в числе опубликованных на сайте издательства с DOI и номерами страниц.
По первому требованию предоставляем все подтверждающие публикацию документы!
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Кибернетика и программирование
Правильная ссылка на статью:

О математическом содержании понятия связанности ссудозаемщиков

Уразаева Татьяна Альфредовна

кандидат экономических наук

заведующая, ФГБОУ ВО «Поволжский государственный технологический университет»

424032, Россия, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, ул. Павленко, 60

Urazaeva Tatiana Alfredovna

PhD in Economics

Head of the Department of Information Systems in the economy, Volga State University of Technology

424032, Russia, respublika Marii El, g. Ioshkar-Ola, ul. Pavlenko, 60

bor1@mari-el.com
Другие публикации этого автора
 

 

DOI:

10.25136/2306-4196.2017.4.23669

Дата направления статьи в редакцию:

24-07-2017


Дата публикации:

17-09-2017


Аннотация: Предметом исследования в настоящей работе является кредит в отрыве от экономической природы, как кредитора, так и заемщика. Объектом исследования являются математические основания моделирования феномена связанности заемщиков. Свое исследование автор начинает с анализа экономического содержания понятия связанности, сразу давая строго математическую интерпретацию используемым экономическим терминам. Далее автор подробно рассматривает как функциональные, так и стохастические аспекты связанности ссудозаемщиков, демонстрируя, при этом, неразрывную связь между самими этими аспектами. Методологической базой исследования являются теоретико-множественный и теоретико-вероятностный подходы. Прикладные аспекты моделирования кредитного портфеля излагаются в терминах алгебраической теории риска. Графическая иллюстрация основных результатов работы базируется на классических визуальных представлениях прямого произведения конечных множеств и на традиционных (квази) деревьях классификации. Первым, важнейшим, результатом данной работы можно считать выявление математически полного перечня возможных вариантов связанности заемщиков в функциональном и теоретико-вероятностном контекстах. При этом в работе приведены содержательные описания всех вариантов взаимосвязи в терминах заявленной предметной области. Приведенная в работе классификация связанности является новой. Аналогичные результаты до настоящего времени не были представлены ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Второй результат работы носит чисто практический характер: некоторые из полученных соотношений могут быть использованы при создании эффективных алгоритмов прямого анализа процессов риска в сложных системах.


Ключевые слова: аффилированность, группа связанных лиц, группа связанных заемщиков, кредит, независимость событий, неопределенность, риск, условная вероятность, холдинг, экономическая связанность компаний

УДК:

519.876:519.248:336.774

Abstract: The object of study in the article is the credit, however it does not concern its economic essence regarding both the creditor, and the borrower. The key aspects of studу concern the mathematical foundations for modeling the  phenomenon of related borrowers. The author stars her research by analyzing economic maintenance of a phenomenon of being related, while directly giving strictly mathematical interpretation to the economic terms, which she employs. Further the author explicitly considers functional and stochastic aspects of coherence of borrowers, showing continuous connection among these aspects. The methodological basis of a research is formed with the set-theoretic and probability-theoretic approaches. Application-oriented aspects of the loan portfolio modeling are explained in terms of the algebraic theory of risk. The graphic illustration of the main results of operation is based on classical submissions of the Cartesian product of finite sets and on traditional (quasi) trees of classification. The key result of this  study is revealing of the complete mathematical list of possible options for the coherence of borrowers in the functional and probability-theoretic contexts. At the same time the article contains detailed descriptions of all possible relation options within the object field of study. This a  novel relation classification. Similar studies are not found among either Russian, or foreign studies so far. Another result of this study is a practical one, since some of the received ratios can be used in order to form efficient algorithms for the direct analysis of risk processes within the complicated systems.



Keywords:

affiliate, a group of related entities, a group of related borrowers, credit, independent events, uncertainty, risk, conditional probability, holding, economic relation of the companies

Введение

Бытует мнение, что кредит несет в себе не только созидательное, но и разрушительное начало [7]. Во многом это связано с трудностями управления кредитными рисками, с неустойчивостью моделей, применяемых для его оценки.

В течение последних десятилетий, в связи со стремительным внедрением информационных технологий в банковский менеджмент, был разработан целый спектр подходов к управлению кредитными рисками: от нейросетевых технологий управления деятельностью кредитного комитета коммерческого банка [1, 3] до методов визуального моделирования портфелей срочных финансовых инструментов [16, 19], от реализации концепции экономических границ кредита [5] до внедрения концепции интегрированного риск-менеджмента [11]. Но, не смотря на это, события потери ликвидности кредитных портфелей в практике современных банков продолжают случаться с удивительной регулярностью.

Одним из ключевых факторов такого положения вещей, по мнению автора настоящей статьи, является как недооценка, так и ограниченность понимания такого феномена, как связанность субъектов кредитных договоров. Этот факт и определил предмет настоящей статьи.

1. Экономическое содержание понятия связанности заемщиков

Большинство методов оценки кредитного риска предполагают, что кредитные договора в портфеле независимы [1, 2, 4, 14, 15, 18]. Однако на практике это не всегда так. В рамках анализируемой предметной области связь договоров выражается в терминах группы связанных заемщиков. Рассмотрим особенности оценки кредитного риска с учетом групп связанных заемщиков.

Под связанными заемщиками будем понимать юридических и физических лиц, связанных между собой экономически таким образом, что ухудшение финансового положения одного из них обусловливает или делает вероятным ухудшение финансового положения другого заемщика (других заемщиков). При этом ухудшение финансового положения может явиться причиной неисполнения (ненадлежащего исполнения) им (ими) обязательств перед банком по его кредитным требованиям, например, если один из заемщиков банка является поручителем (гарантом) по обязательствам другого заемщика перед банком, либо если заемщик банка является должником другого заемщика банка [10]. Следует отметить, что в течение последних нескольких лет Центральный Банк России существенно расширял и уточнял институциональную составляющую понятия связанных заемщиков [6].

Если говорить о практике кредитования, то сегодня крупнейшие банки усиливают акцент на оценке кредитных рисков, которые они принимают на связанных заемщиков [8]. При этом оценка производится не только по формальным критериям, но и на основании любой доступной информации о фактическом владении и управлении бизнесом. В связи с этим банки приветствуют максимально полное раскрытие холдинговыми структурами и иными группами предприятий информации о степени их внутренней взаимозависимости. Банки утверждают, что в большинстве случаев это приводит к более выгодным для заемщиков условиям кредитования.

Обещания банков о повышении привлекательности ссудного продукта в условиях максимального раскрытия заемщиками своей институциональной структуры предполагают новый уровень управления рисками. Банки должны точнее рассчитывать свои резервы с целью снижения внутренней стоимости услуг и соответственно расширения диапазона демонстрируемой лояльности к значимым клиентам. Решение этой задачи невозможно без привлечения новых более точных и быстрых методов оценки рисков.

Учитывая экономическое содержание понятия связанности заемщиков, модель кредитного договора, предложенную в работах [13-15, 18], следует трансформировать в соответствии со следующими принципами.

1. Принцип единого экономического пространства . В рассматриваемом контексте этот принцип означает, что классификация всех кредитных договоров как связанных, так и несвязанных заемщиков произведена одинаково – на основе единого подхода, отражающего представления субъекта классификации (банка) о текущей ситуации в экономике. Это, в частности, означает, что вероятности для каждого сценария развития каждого кредитного договора внутри класса оценены одинаково. Другими словами, мы будем предполагать, что все похожие заемщики некоторого сектора экономики действуют в похожих условиях и испытывают в среднем похожие воздействия со стороны окружающей среды. При этом отличия связанных заемщиков от несвязанных находятся не снаружи, то есть во внешней среде, а внутри – в процессах принятия решений с учетом всех видов взаимосвязи субъектов кредитования. Также заметим, что связанные кредиты могут принадлежать разным классам. В этом случае вероятности сценариев по каждому из договоров группы связанных заемщиков оцениваются на начальном этапе согласно принадлежности к классу.

2. Принцип солидарной ответственности . В общем виде этот принцип предполагает существование нескольких должников или нескольких кредиторов в рамках одной и той же обязательственной связи [12]. Другими словами, суть этого принципа заключается в создании единства, союза между различными должниками или различными кредиторами, с тем, чтобы каждый из них мог вмешиваться в процесс принятия решения по обслуживанию обязательства или оказаться в роли преследуемого за всю сумму обязательства. В рассматриваемом контексте этот принцип сводится к двум положениям. Во-первых, процессы обслуживания обязательств связанными заемщиками независимы до тех пор, пока не для одного из них не становятся актуальными третий или четвертый сценарии 4-сценарной модели соответствующего кредитного договора [14]. И, во-вторых, если в рамках хотя бы одного кредитного договора по группе связанных заемщиков актуализируется третий или четвертый сценарий, то это будет означать реализацию отдельной сценарной модели для всей группы заемщиков с учетом общей ссудной задолженности.

3. Принцип (аксиома) нормирования вероятности . Пусть `Omega` – множество элементарных событий, `ccA``sigma`-алгебра подмножеств множества `Omega`, `P` – вероятностная мера на измеримом пространстве `(Omega, quad ccA)`. Тогда для любого вероятностного пространства `(Omega, quad ccA, quad P)` мера всего множества элементарных событий равна единице:

`P(Omega)=1` .

4. Принцип иерархии риска . Этот принцип является частным случаем теоремы 2.5 монографии [13] и с использованием обозначений из второй главы этой книги может быть сформулирован следующим образом. Пусть имеется декомпозиция риска на несколько частей. Каждая часть риска содержит один или несколько исходов развития экономики и соответствует некоторому логически выделенному сценарию развития. Если в ходе дальнейшего анализа одного из таких сценариев выясняется наличие в нем ранее не учтенного риска, то часть риска, соответствующая этому сценарию (элемент множества `frP_alpha` , `0<alpha<1` ), просто умножается на выявленный риск (элемент множества `frR` ) и получается новая часть общего риска (элемент снова множества `frP_alpha` ).

Однако прежде чем попытаться переложить экономическое содержание понятия связанности заемщиков на язык моделей, исследуем математическое содержание этого понятия.

2. Математическое содержание понятия связанности заемщиков

Исследуем генезис феномена связанности заемщиков с чисто математической точки зрения.

Рассмотрим случай двух заемщиков. Введем ряд обозначений. Пусть вероятностное пространство `(Omega', quad ccA', quad P')` описывает неопределенность состояний среды, влияющей на первого заемщика. Пусть при этом `sigma` -алгебра событий `ccA'` порождается конечным разбиением `{A'_i}_(i in I')` множества элементарных исходов `Omega'` , таким, что

`uuu_(i in I') A'_i = Omega'` ,

`AA i, quad j quad (i, quad j in I') quad [i!=j quad => quad A'_i nn A'_j =O/]` .

Здесь `I'` – множество видов событий, связанных с развитием договорных отношений с первым заемщиком; `A'_i` – событие `i` -го вида в рамках развития договорных отношений с этим заемщиком, `i in I'` . Вероятностная мера `P'` , заданная на измеримом пространстве `(Omega', quad ccA')` , определяет вероятности событий, связанных с развитием договорных отношений:

`P'(A'_i) = p'_i in ccI` , `i in I'` .

Здесь `ccI = "[" 0, quad 1 "]"sub RR` , а `RR` – множество действительных чисел. Очевидно при этом, что `sum_(i in I') p'_i = 1` .

Пусть, далее, `f': quad Omega'-> RR` – функция финансового результата, полученного в рамках договора с первым заемщиком. Эта функция определяет финансовый результат для каждого элементарного исхода, возможного в рамках данного кредитного договора:

`AA i quad (i in I') quad AA omega quad (omega in A'_i) quad [f'(omega) = c'_i]` .

Используя введенные обозначения, риск договора с первым заемщиком можно описать [13] мультимножеством следующего вида:

`{k'(x)**x: quad k'(x) = sum_(i in I') delta((c'_i, quad p'_i), quad x), quad x in uuu_(i in I') {(c'_i, quad p'_i)}}` , (1)

где `delta (x, quad y) ={(1 if x=y),(0 if x!=y):}` – функция-индикатор совпадения аргументов (символ Кронекера).

Пусть вероятностное пространство `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` описывает неопределенность состояний среды, влияющей на второго заемщика. Пусть `sigma` -алгебра событий `ccA''` порождается конечным разбиением `{A''_i}_(i in I'')` множества элементарных исходов `Omega''` , таким, что

`uuu_(i in I'') A''_i = Omega''` ,

`AA i, quad j quad (i, quad j in I'') quad [i != j quad => quad A''_i nn A''_j = O/]`,

где `I''` – множество видов событий, связанных с развитием договорных отношений со вторым заемщиком; `A''_i` – событие `i` -го вида в рамках развития договорных отношений со вторым заемщиком, `i in I''` . Соответственно вероятностная мера `P''` , заданная на измеримом пространстве `(Omega'', quad ccA'')` , определяет вероятности событий, связанных с развитием рассматриваемых договорных отношений:

`P''(A''_i) = p''_i in ccI` , `i in I''` .

Также очевидно при этом, что `sum_(i in I'') p''_i = 1` .

Пусть, далее, `f'': quad Omega'' -> RR` – функция финансового результата, полученного в рамках договора со вторым заемщиком. Эта функция определяет финансовый результат для каждого элементарного исхода, возможного в рамках кредитного договора со вторым заемщиком:

`AA i quad (i in I'') quad AA omega quad (omega in A''_i) quad [f''(omega) = c''_i]` .

Соответственно риск договора со вторым заемщиком можно описать мультимножеством следующего вида:

`{k''(x)**x: quad k''(x) = sum_(i in I'') delta((c''_i, quad p''_i), quad x), quad x in uuu_(i in I'') {(c''_i, quad p''_i)} }` . (2)

Исследование начнем со случая, когда наши два заемщика не связаны. Это необходимо влечет независимость событий, связанных с договорами, в теоретико-вероятностном смысле:

`Omega' nn Omega'' = O/` . (3)

Неопределенность состояний среды, влияющей на систему, состоящую из двух таких кредитных договоров, опишем вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad P)` . Здесь `Omega = Omega' xx Omega''` ; `sigma` -алгебра событий `ccA` порождается разбиением `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` ; вероятностная мера определяется соотношением

`P(A'_i xx A''_j) = P'(A'_i) P(A''_j) = p'_i p''_j` , `i in I'` , `j in I''` .

Легко проверить, что

`sum_(i in I') sum_(j in I'') P(A'_i xx A''_j) = sum_(i in I') sum_(j in I'') p'_i p''_j = ( sum_(i in I') p'_i ) ( sum_(j in I'') p''_j ) = 1` .

Функция финансового результата системы из двух договоров `f: quad Omega -> RR` определяется аддитивно:

`AA i quad (i in I') quad AA j quad (j in I'') quad [ omega in A'_i xx A''_j quad => quad f(omega) = c'_i + c''_j ]` . (4)

Соответственно риск рассмотренной системы из двух договоров можно описать мультимножеством вида:

`{k(x)**x : quad k(x) = sum_(i in I') sum_(j in I'') delta((c'_i + c''_j, quad p'_i p''_j), quad x),`

`x in uuu_(i in I') uuu_(j in I'') {(c'_i+c''_j, quad p'_i p''_j)} } `.

Структура этого мультимножества нам уже знакома: это произведение мультимножеств (1) и (2) в смысле определения (2.7) из монографии [13]. Случай вычисления риска системы, состоящей из элементов, каждому из которых присущ свой определенный риск и эти риски независимы, изучался на протяжении всей второй главы цитируемой монографии в более общем виде. Данный частный случай интересен только с точки зрения исследования генезиса феномена связанности заемщиков.

Последовательно рассмотрим варианты проявления связи между заемщиками.

1. Условие (3) не является достаточным для отсутствия связи между заемщиками. Будем считать, что это условие выполнено. Связь между заемщиками может проявиться в форме (частичной) неаддитивности функции финансового результата системы из двух договоров. Иначе говоря, финансовый результат по двум рассматриваемым кредитным договорам может описываться функцией `hat(f) : quad Omega -> RR` , такой, что

`EE ccB quad (O/ != ccB sube ccA) quad [ AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) != f(omega) ],`

`AA A quad (A in ccA - ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) = f(omega) ] ]` .

Такая ситуация возможна например тогда, когда рыночные механизмы развития событий по каждому из двух рассматриваемых договоров не связаны между собой, однако в качестве залога по обоим договорам выступает один и тот же актив достаточной стоимости. В этом случае возможна ситуация, когда при возникновении дефолта по одному из договоров функции `f'` и `f''` учитывают дополнительные затраты на отторжение соответствующей части заложенного единого актива, а в случае возникновения дефолта по обоим договорам (событие из множества `ccB` ) реализуется весь актив, что снижает издержки, то есть

`AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) > f(omega) ]` ,

см. рисунок 1. Возможен и противоположный случай, когда реализация одной из частей актива в один момент проще, чем продажа всего актива, например, из-за его высокой стоимости для данного региона. В этом случае продажа актива целиком возможна в приемлемый промежуток времени лишь с существенным дисконтом и, таким образом,

`AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) < f(omega)]` ,

см. рисунок 2.

ris1

Рис. 1. Значения функций `f` (рис. а) и `hat(f)` (рис. б) на множестве `Omega` в условиях снижения издержек при продаже актива целиком. Области отличий в значениях функций выделены. Значение функции в точке представлено диаметром круга или окружности. Круг соответствует положительному значению, окружность – отрицательному

ris2

Рис. 2. Значения функций `f` (рис. а) и `hat(f)` (рис. б) на множестве `Omega` в условиях значительного дисконта при продаже актива целиком. Области отличий в значениях функций выделены. Значение функции в точке представлено диаметром круга или окружности. Круг соответствует положительному значению, окружность – отрицательному

Заметим, что в рассмотренном примере для данного варианта проявления связи заемщиков было использовано предположение, что при возникновении дефолта реализация залога всегда успешна. Случайный характер успеха или неуспеха реализации залога или части залога не рассматривался.

2. Пусть условие (3) выполнено. Пусть также функция финансового результата аддитивна, то есть выполняется соотношение (4). Рассмотрим другой крайний случай взаимосвязи заемщиков, который выражается лишь в (частичном) перераспределении вероятностной меры.

Опишем неопределенность состояния среды, влияющей на систему, состоящую из двух наших кредитных договоров, несколько измененным вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad hat(P))` , где `hat(P)` – вновь определенная вероятностная мера, такая, что

`EE ccB quad (ccB sube ccA, quad | ccB | > 1) quad [ sum_(A in ccB) hat(P)(A) = sum_(A in ccB) P(A),`

`A in ccB quad => quad hat(P)(A) !=P(A), quad Ain ccA - ccB quad => quad hat(P)(A)=P(A) ]` .

Представленная ситуация может возникнуть например тогда, когда в условиях фиксированных цен на активы при независимых рыночных механизмах развития ситуации по обоим кредитным договорам процесс реализации актива целиком (при возникновении дефолта сразу по обоим обязательствам) не сводится к процессам его продажи по частям. Здесь так же, как и в предыдущем примере, предполагается, что связанность договоров обусловлена использованием в качестве залога некоторого одного актива достаточной стоимости, части которого формируют залог для первого и второго кредитных договоров. Однако еще раз подчеркнем, что событие «успешная продажа актива» в рассматриваемом случае есть нечто иное, нежели одновременное наступление событий «успешная продажа первой части актива» и «успешная продажа второй части актива». Этот факт может быть отражен в форме частичного перераспределения вероятностной меры, см. рисунок 3.

ris3

Рис. 3. Разные вероятностные меры на множестве `Omega` : а – случай, когда продажа актива целиком может рассматриваться как продажа его по частям, при этом вероятность успеха продажи каждой части достаточно высока; б – случай, когда вероятность продажи актива целиком весьма мала, несмотря на то, что продажа одной части актива из двух возможна с достаточной степенью вероятности (один заинтересованный покупатель и его ресурсы ограничены, цены при этом фиксированы). Количественное значение меры подмножества представлено интенсивностью цвета. Показаны меры только тех подмножеств, для которых произошло перераспределение

3. Еще раз обратимся к предыдущему примеру. Заметим, что полная группа событий по каждому из договоров в нем, как и ранее, формируется соответствующим виду договора рыночным механизмом. Однако события, связанные с дефолтом сразу по обоим обязательствам, не сводятся к одновременному наступлению событий из групп событий «дефолт по первому договору» и «дефолт по второму договору». Требующееся в этом случае перераспределение вероятностных мер есть следствие недостаточной детализации реальности разбиением `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` , что фактически означает недостаточную детализацию реальности разбиениями `{A'_i}_(i in I')` и `{A''_i}_(i in I'')` . То есть в условиях отсутствия связи между заемщиками используемой детализации достаточно, а при наличии связи – нет. При выполнении соотношения (3) связанность заемщиков требует дальнейшей детализации разбиения множества `Omega` , в части учета сценариев раздельной и совместной реализации залогов по договорам. До этого разбиения множеств `Omega'` и `Omega''` учитывали лишь сценарии, приводившие к конкретному результату по договору: выполнение обязательств заемщиком, дефолт с успешной реализацией залога, списание безнадежной ссудной задолженности. Сценарии реализации залога по первому договору отдельно, по второму договору отдельно и по обоим договорам одновременно не рассматривались. Учет такой детализации будет означать в том числе фактически (частичный) пересмотр разбиения множества `Omega` и, таким образом, переход к описанию неопределенности состояния среды, влияющей на систему, состоящую из двух наших кредитных договоров, некоторым новым вероятностным пространством `(Omega, quad hat(ccA), quad hat(P))` , в котором `sigma` -алгебра событий `hat(ccA)` , порождена новым разбиением множества `Omega` . Заметим, ввод в рассмотрение нового разбиения вместо `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` влечет не только рассмотрение новой `sigma` -алгебры событий `hat(ccA)` , но и соответственно новой вероятностной меры `hat(P)` и, как правило, новой функции финансового результата `hat(f)` . Иллюстрация этого случая в контексте наших предыдущих примеров приведена на рисунке 4.

ris4

Рис. 4. Случай пересмотра разбиения множества `Omega` с целью детализации сценариев реализации общего для обоих договоров залога

Перечисленные три варианта исчерпывают мыслимые с математической точки зрения варианты связанности заемщиков в условиях независимости событий по договорам в теоретико-вероятностном смысле (3). Перейдем к рассмотрению четвертого варианта, теперь уже связанного с теоретико-вероятностной зависимостью событий, происходящих в рамках двух рассматриваемых договоров.

4. Пусть теперь

`Omega' nn Omega'' =A_0 != O/` .

Предположим далее, что `0 !in I' uu I''` и, для простоты, что

`EE ! m quad (m in I') quad [bar(m1) !in I', quad A'_m = A'_(m1) + A_0]` ,

`EE ! n quad (n in I'') quad [bar(n1) !in I'', quad A''_n = A''_(n1) + A_0]` ,

где `bar(ij)` означает индекс, составленный из значений `i` и `j` .

Неопределенность состояний среды, влияющей на систему, состоящую из двух таких кредитных договоров, опишем вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad P)` , в котором

`Omega = [ (Omega' - A_0) xx (Omega'' -A_0)] uu A_0` ,

а `sigma` -алгебра порождена разбиением

`{A'_i xx A''_j}_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad uu quad {A_0}` ,

где `I'_1 = (I' - {m}) uu {bar(m1)}` , `I''_1=(I'' - {n}) uu {bar(n1)}` . В рамках нашего примера с 4-сценарными кредитными договорами данная ситуация представлена на рисунке 5. На рисунке `m = n = 4` и `A_0 = A_(40)` .

ris5

Рис. 5. Случай теоретико-вероятностной связи между двумя кредитными договорами

Выразим вероятностную меру `P` через меры `P'` и `P''` . Для этого рассмотрим вероятностные пространства `(Omega', quad ccA', quad P')` , `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` и `(Omega, quad ccA, quad P)` с позиций условных вероятностных мер [9], порождаемых событием `A_0` , в соответствующих пространствах.

Поскольку

`( uuu_(i in I'_1) A'_i) uu A_0 = Omega'` ,

то

`sum_(i in I'_1) P'(A'_i) + P'(A_0) = 1` .

Используя условную вероятностную меру `P'_(A_0^c)` по наступлению события `A_0^c` , где `A_0^c` – дополнение события `A_0` в вероятностном пространстве `(Omega', quad ccA', quad P')` , можно записать

`P'(A_0^c) sum_(i in I'_1) P'_(A_0^c)(A'_i) + P'(A_0) = 1` ,

здесь

`P'_(A_0^c)(A'_i) = (P'(A'_i)) / (P'(A_0^c))` , `i in I'_1` . (5)

Аналогично, так как

`( uuu_(j in I''_1) A''_j ) uu A_0 = Omega''` ,

то

`sum_(j in I''_1) P''(A''_j) + P''(A_0) = 1` ,

и для вероятностного пространства `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` можно записать

`P''(A_0^c) sum_(j in I''_1) P''_(A_0^c)(A''_j) + P''(A_0) = 1` ,

где

`P''_(A_0^c)(A''_j) = (P''(A''_j)) / (P''(A_0^c))` , `j in I''_1` . (6)

Для вероятностного пространства `(Omega, quad ccA, quad P)` из соотношения

`( uuu_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad A'_i xx A''_j ) uu A_0 = Omega`

следует, что

`sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad P(A'_i xx A''_j) quad + quad P(A_0) = 1` ,

или, иначе,

`P(A_0^c) quad sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) quad + quad P(A_0) = 1` ,

где

`P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) = ( P(A'_i xx A''_j) ) / ( P(A_0^c) )` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (7)

Для условной вероятностной меры `P_(A_0^c)` можно записать:

`P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) = P'_(A_0^c)(A'_i) P''_(A_0^c)(A''_j)` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (8)

Воспользовавшись принципом единого экономического пространства в своем простейшем проявлении, а именно в части независимости частоты наступления события `A_0` от полного вероятностного пространства, в которое оно включено:

`P'(A_0) = P''(A_0) = P(A_0) = p_0` ,

можно записать:

`P'(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P'(Omega' - A_0) = P''(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P''(Omega'' - A_0) quad =`

`= quad P(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P(Omega - A_0) = 1 - P'(A_0) = 1 -p_0`. (9)

В итоге из соотношений (8), (5)-(7) и (9) получаем

`P(A'_i xx A''_j) = 1/(1-P'(A_0)) P'(A'_i) P''(A''_j)` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (10)

Заметив, что

`c'_(m1) = c'_m` , `p'_(m1) = p'_m - p_0` ,

`c''_(n1) = c''_n` , `p''_(n1) = p''_n - p_0` ,

а также используя соотношение (10), риск системы из двух договоров в условиях описанной теоретико-вероятностной зависимости можно описать мультимножеством вида:

`{ k(x)**x : quad k(x) = quad sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad delta((c'_i + c''_j, quad (p'_i p''_j)/(1 - p_0)), quad x) ,`

`x in quad uuu_(i in I'_1, quad j in I''_1) {(c'_i + c''_j, quad (p'_i p''_j)/(1 - p_0))} } + {(c'_m + c''_n, quad p_0)}` . (11)

3. Классификация связанности

В целом, подводя итог, можно предложить классификацию взаимосвязи заемщиков с математической точки зрения, представленную на рисунке 6.

ris6

Рис. 6. Классификация связанности заемщиков с математической точки зрения

На рисунке показано, в частности, что новое разбиение множества элементарных исходов системы договоров влечет, как правило, переопределение функции финансового результата и необходимо влечет переопределение вероятностной меры.

Выводы

Завершая рассмотрение математических аспектов проблемы связанности заемщиков, важно дать общую экономическую интерпретацию предложенной классификации. Так, связанность заемщиков в условиях теоретико-вероятност­ной независимости событий по договорам соответствует случаю, когда субъекты кредитных договоров действуют на разных независимых рынках, а их связь заключена в них самих, например, речь может идти о солидарной ответственности. Во втором случае, в условиях наличия теоретико-вероятностной зависимости событий по договорам, связь между заемщиками обусловлена действиями субъектов кредитных договоров на одном рынке, при этом внутренней связи типа солидарной ответственности может и не присутствовать. И, наконец, заметим, что в общем случае возможна комбинация всех видов связанности заемщиков.

Полученные результаты могут быть использованы при синтезе эффективных вычислительных процедур анализа коллективного поведения систем в условиях связанности различной природы, в частности речь идет о роли соотношения (11) при реализации абстрактной операции вычисления совместного риска (умножения рисков).

Библиография
1.
Бородин, А. В. Математические модели управления кредитным портфелем коммерческого банка / А. В. Бородин. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 1998. – 168 с.
2.
Бородин, А. В. Модель ценообразования на рынке розничных ссудных продуктов коммерческого банка / А. В. Бородин // Экономика. Теория и практика: материалы IV международной научно-практической конференции (17 декабря 2015 г.). – Саратов: Издательство ЦПМ "Академия Бизнеса", 2015. – С. 46-49.
3.
Бородин, А. В. Об автоматизации деятельности кредитного комитета коммерческого банка / А. В. Бородин // 2-я Российская научно-практическая конференция «Реинжиниринг бизнес-процессов на основе современных информационных технологий». Сборник научных трудов. – М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 1998. – С. 145-148.
4.
Бородин, А. В. Об отдельных аспектах применения методологии Монте-Карло в оценке риска кредитного портфеля в среде Microsoft Office / А. В. Бородин // Экономика. Теория и практика: материалы международной научно-практической конференции (13 августа 2014 г.). – Саратов: Издательство ЦПМ «Академия Бизнеса», 2014. – C. 22-36.
5.
Валенцева, Н. И. Теоретические основы экономических границ кредита и развития потребительского кредитования / Н. И. Валенцева, И. В. Ларионова, Ю. В. Кудрявцева // Банковские услуги. – 2011. – № 1. – С. 2-11.
6.
Инструкция Банка России от 3 декабря 2012 г. № 139-И «Об обязательных нормативах банков» / в ред. Указаний Банка России №3097-У от 25.10.2013, №3268-У от 30.05.2014, №3401-У от 30.09.2014, №3452-У от 25.11.2014, №3497-У от 18.12.2014, №3490-У от 16.12.2014, №3566-У от 16.02.2015, №3684-У от 18.06.2015, №3764-У от 01.09.2015, №3855-У от 30.11.2015, №3990-У от 07.04.2016, №4055-У от 29.06.2016, №4166-У от 20.10.2016, №4292-У от 13.02.2017. – Информационно-правовой портал ГАРАНТ.РУ. – URL: http://base.garant.ru/70286876/. Дата обращения: 17.06.2017.
7.
Кредитная экспансия и управление кредитом / Коллектив авторов: под ред. О. И. Лаврушина. – М.: КНОРУС, 2013. – 172 с.
8.
Кредитный манифест. – Официальный сайт Сбербанка России. – URL: http://sberbank.ru/moscow/ru/about/today/credit_ manifest/. Дата обращения: 09.10.2011.
9.
Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. – 719 с.
10.
О расчете норматива максимального размера риска на одного заемщика или группу связанных заемщиков (Н6) / подписано первым зам. пред. ЦБ РФ А. А. Козловым // Вестник Банка России. – 2004. – №56 (780). – С. 44.
11.
Риск-менеджмент в коммерческом банке / Коллектив авторов: под ред. И. В. Ларионовой. – М.: КНОРУС, 2014. – 456 с.
12.
Сандевуар, П. Введение в право / П. Сандевуар. – М.: Издательская группа «Интратэк-Р», 1994. – 326 с.
13.
Уразаева, Т. А. Алгебра рисков: теория и алгоритмы / Т. А. Уразаева. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2013. – 209 с.
14.
Уразаева, Т. А. Алгебраическая система рисков и ее приложения в сфере кредитования / Т. А. Уразаева // Вестник Поволжского государственного технологического университета. Серия: Экономика и управление. – 2012. – №1(15). – С. 24-31.
15.
Уразаева, Т. А. Масштабные эффекты в розничном кредитном портфеле / Т. А. Уразаева // Современные проблемы и перспективы социально-экономического развития предприятий, отраслей, регионов – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2013. – С. 382-387.
16.
Уразаева, Т. А. Методология моделирования риска портфелей срочных финансовых инструментов / Т. А. Уразаева // Аудит и финансовый анализ. – 2010. – № 5 – С. 456-465.
17.
Уразаева, Т. А. Модели связанных заемщиков в нотации диаграмм деятельности UML / Т. А. Уразаева // Управление конкурентоспособностью региона: стратегии, модели, информационно-аналитическое обеспечение: Региональная научно-практическая конференция. Ч. 1. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2011. – С. 202-206.
18.
Уразаева, Т. А. Однородные портфели: алгебраические аспекты имитационного моделирования / Т. А. Уразаева // Инновационное развитие российской экономики. Материалы конференции. VI Международный научно-практический форум. – М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2013. – С. 404-408.
19.
Уразаева, Т. А. Синтаксическая модель языка визуального представления развивающихся экономик / Т. А. Уразаева // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2006. – Т. 13. – В. 1. – С. 147-149.
References (transliterated)
1.
Borodin, A. V. Matematicheskie modeli upravleniya kreditnym portfelem kommercheskogo banka / A. V. Borodin. – Ioshkar-Ola: MarGTU, 1998. – 168 s.
2.
Borodin, A. V. Model' tsenoobrazovaniya na rynke roznichnykh ssudnykh produktov kommercheskogo banka / A. V. Borodin // Ekonomika. Teoriya i praktika: materialy IV mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii (17 dekabrya 2015 g.). – Saratov: Izdatel'stvo TsPM "Akademiya Biznesa", 2015. – S. 46-49.
3.
Borodin, A. V. Ob avtomatizatsii deyatel'nosti kreditnogo komiteta kommercheskogo banka / A. V. Borodin // 2-ya Rossiiskaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya «Reinzhiniring biznes-protsessov na osnove sovremennykh informatsionnykh tekhnologii». Sbornik nauchnykh trudov. – M.: Moskovskii gosudarstvennyi universitet ekonomiki, statistiki i informatiki (MESI), 1998. – S. 145-148.
4.
Borodin, A. V. Ob otdel'nykh aspektakh primeneniya metodologii Monte-Karlo v otsenke riska kreditnogo portfelya v srede Microsoft Office / A. V. Borodin // Ekonomika. Teoriya i praktika: materialy mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii (13 avgusta 2014 g.). – Saratov: Izdatel'stvo TsPM «Akademiya Biznesa», 2014. – C. 22-36.
5.
Valentseva, N. I. Teoreticheskie osnovy ekonomicheskikh granits kredita i razvitiya potrebitel'skogo kreditovaniya / N. I. Valentseva, I. V. Larionova, Yu. V. Kudryavtseva // Bankovskie uslugi. – 2011. – № 1. – S. 2-11.
6.
Instruktsiya Banka Rossii ot 3 dekabrya 2012 g. № 139-I «Ob obyazatel'nykh normativakh bankov» / v red. Ukazanii Banka Rossii №3097-U ot 25.10.2013, №3268-U ot 30.05.2014, №3401-U ot 30.09.2014, №3452-U ot 25.11.2014, №3497-U ot 18.12.2014, №3490-U ot 16.12.2014, №3566-U ot 16.02.2015, №3684-U ot 18.06.2015, №3764-U ot 01.09.2015, №3855-U ot 30.11.2015, №3990-U ot 07.04.2016, №4055-U ot 29.06.2016, №4166-U ot 20.10.2016, №4292-U ot 13.02.2017. – Informatsionno-pravovoi portal GARANT.RU. – URL: http://base.garant.ru/70286876/. Data obrashcheniya: 17.06.2017.
7.
Kreditnaya ekspansiya i upravlenie kreditom / Kollektiv avtorov: pod red. O. I. Lavrushina. – M.: KNORUS, 2013. – 172 s.
8.
Kreditnyi manifest. – Ofitsial'nyi sait Sberbanka Rossii. – URL: http://sberbank.ru/moscow/ru/about/today/credit_ manifest/. Data obrashcheniya: 09.10.2011.
9.
Loev, M. Teoriya veroyatnostei / M. Loev. – M.: Izd-vo inostrannoi literatury, 1962. – 719 s.
10.
O raschete normativa maksimal'nogo razmera riska na odnogo zaemshchika ili gruppu svyazannykh zaemshchikov (N6) / podpisano pervym zam. pred. TsB RF A. A. Kozlovym // Vestnik Banka Rossii. – 2004. – №56 (780). – S. 44.
11.
Risk-menedzhment v kommercheskom banke / Kollektiv avtorov: pod red. I. V. Larionovoi. – M.: KNORUS, 2014. – 456 s.
12.
Sandevuar, P. Vvedenie v pravo / P. Sandevuar. – M.: Izdatel'skaya gruppa «Intratek-R», 1994. – 326 s.
13.
Urazaeva, T. A. Algebra riskov: teoriya i algoritmy / T. A. Urazaeva. – Ioshkar-Ola: Povolzhskii gosudarstvennyi tekhnologicheskii universitet, 2013. – 209 s.
14.
Urazaeva, T. A. Algebraicheskaya sistema riskov i ee prilozheniya v sfere kreditovaniya / T. A. Urazaeva // Vestnik Povolzhskogo gosudarstvennogo tekhnologicheskogo universiteta. Seriya: Ekonomika i upravlenie. – 2012. – №1(15). – S. 24-31.
15.
Urazaeva, T. A. Masshtabnye effekty v roznichnom kreditnom portfele / T. A. Urazaeva // Sovremennye problemy i perspektivy sotsial'no-ekonomicheskogo razvitiya predpriyatii, otraslei, regionov – Ioshkar-Ola: Povolzhskii gosudarstvennyi tekhnologicheskii universitet, 2013. – S. 382-387.
16.
Urazaeva, T. A. Metodologiya modelirovaniya riska portfelei srochnykh finansovykh instrumentov / T. A. Urazaeva // Audit i finansovyi analiz. – 2010. – № 5 – S. 456-465.
17.
Urazaeva, T. A. Modeli svyazannykh zaemshchikov v notatsii diagramm deyatel'nosti UML / T. A. Urazaeva // Upravlenie konkurentosposobnost'yu regiona: strategii, modeli, informatsionno-analiticheskoe obespechenie: Regional'naya nauchno-prakticheskaya konferentsiya. Ch. 1. – Ioshkar-Ola: MarGTU, 2011. – S. 202-206.
18.
Urazaeva, T. A. Odnorodnye portfeli: algebraicheskie aspekty imitatsionnogo modelirovaniya / T. A. Urazaeva // Innovatsionnoe razvitie rossiiskoi ekonomiki. Materialy konferentsii. VI Mezhdunarodnyi nauchno-prakticheskii forum. – M.: Moskovskii gosudarstvennyi universitet ekonomiki, statistiki i informatiki, 2013. – S. 404-408.
19.
Urazaeva, T. A. Sintaksicheskaya model' yazyka vizual'nogo predstavleniya razvivayushchikhsya ekonomik / T. A. Urazaeva // Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki. – 2006. – T. 13. – V. 1. – S. 147-149.
Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи


Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.
Сайт исторического журнала "History Illustrated"