Статья 'Алгоритм определения оптимальных параметров тонкостенных пространственных конструкций' - журнал 'Кибернетика и программирование' - NotaBene.ru
по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > О журнале > Требования к статьям > Редакция и редакционный совет > Порядок рецензирования статей > Политика издания > Ретракция статей > Этические принципы > Политика открытого доступа > Оплата за публикации в открытом доступе > Online First Pre-Publication > Политика авторских прав и лицензий > Политика цифрового хранения публикации > Политика идентификации статей > Политика проверки на плагиат
Журналы индексируются
Реквизиты журнала

Публикация за 72 часа - теперь это реальность!
При необходимости издательство предоставляет авторам услугу сверхсрочной полноценной публикации. Уже через 72 часа статья появляется в числе опубликованных на сайте издательства с DOI и номерами страниц.
По первому требованию предоставляем все подтверждающие публикацию документы!
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Кибернетика и программирование
Правильная ссылка на статью:

Алгоритм определения оптимальных параметров тонкостенных пространственных конструкций

Колесников Александр Георгиевич

кандидат технических наук

доцент, кафедра городского, дорожного строительства и строительной механики, Юго-Западный государственный университет

305054, Россия, Курская область, г. Курск, ул. 50 Лет Октября, 94

Kolesnikov Aleksandr Georgievich

PhD in Technical Science

Associate Professor, Department of Urban, Road Construction and Structural Mechanics, Southwestern State University

305054, Russia, Kurskaya Oblast' oblast', g. Kursk, ul. 50 Let Oktyabrya, 94

ag-kolesnikov@mail.ru
Другие публикации этого автора
 

 

DOI:

10.7256/2306-4196.2016.5.20500

Дата направления статьи в редакцию:

22-09-2016


Дата публикации:

29-01-2017


Аннотация: Предметом исследования является алгоритм определения оптимальных параметров пологих тонкостенных пространственных геометрически нелинейных оболочек на упругом основании. Основное внимание уделяется подбору алгоритма оптимизации таких конструкций и адаптации его к решению задач нахождения оптимальных форм конструкций типа пологих оболочек с учетом нелинейности работы материала. А также демонстрации возможности достижения значительной экономии объема (веса) конструкций типа тонких пологих оболочек на упругом основании за счет изменения формы образующей и распределения толщины. Алгоритм оптимизации основан на модификации одного из методов случайного поиска, включающего в себя комбинацию градиентного и случайного поиска, а так же метод "оврагов". Алгоритм определения оптимальных параметров тонкостенных пространственных конструкций может быть использован для определения критической силы и напряжений для геометрически нелинейных пологих оболочек на упругом основании с переменной формой срединной поверхности при различных ограничениях. Новизна исследования заключается в применении комбинированного метода нахождения экстремума нелинейных функций с различными ограничениями.


Ключевые слова: алгоритм, градиентный спуск, случайный поиск, геометрическая нелинейность, пологие оболочки, оптимизация, упругое основание, оптимальная форма, целевая функция, моделирование конструкции

Abstract: The subject of this study is an algorithm for determining the optimal parameters of shallow thin-walled spatial geometrically nonlinear shells on the elastic base. A main attention is paid to the selection algorithm optimization of such structures and its adaptation to the problem of finding the optimal form of shallow shell construction taking into account the material nonlinearity. The paper also demonstrates the possibility of achieving significant savings in volume (weight) of structures such as thin shallow shells on elastic base by changing its shape and thickness distribution. The optimization algorithm is based on a modification of a method of random search, including a combination of random and gradient search, as well as a method of "ravines". The algorithm for determining the optimal parameters of thin-walled spatial structures can be used to determine critical force and stresses for geometrically nonlinear shallow shells on an elastic base with a variable middle surface shape under various constraints. The novelty of the research is to use the combined method of finding the extremum of nonlinear functions with various restrictions.



Keywords:

objective function, optimal shape, elastic base, optimization, shallow shells, geometric nonlinearity, random search, gradient descent, algorithm, construction simulation

Введение

В строительстве вопросы снижения стоимости несущих конструкций и повышения их эксплуатационных характеристик выходят в настоящее время на первый план.

Существенный вклад в решение этих задач вносит использование в конструкторских решениях элементов типа пологих оболочек [1-3], которые уже нашли широкое применение в строительстве, машиностроении и других областях техники (рисунок 1).

obol_1

Рисунок 1 – Оболочка на упругом основании.

Развитие методов оптимального проектирования пологих оболочек, помогающих отыскать формы конструкций минимального веса, максимальной несущей способности и т.д., а также внедрение их в практику позволит получить ощутимый эффект при дальнейшем решении поставленных задач.

Наибольшую трудность вызывает подбор алгоритмов оптимизации таких конструкций и адаптация их к решению задач нахождения оптимальных форм конструкций типа пологих оболочек с учетом нелинейности работы материала.

Известны два основных вида задач оптимизации: задачи с ограничениями 1-го рода и 2-го рода. Под ограничениями 1-го рода будем понимать физические ограничения, наложенные на параметры проектирования: ограничения на толщину оболочки, ограничения на показатель степени ξ, который характеризуют форму оболочки, ограничения на параметр формы толщины t, на параметр k, характеризующий отношение толщины в центре оболочки и на краях [4, 12, 13].

Алгоритм определения оптимальных параметров при ограничении 1-го рода.

Необходимо решить следующие задачи оптимизации: определение формы срединной поверхности и толщины оболочки минимального объема (V(ξ, t) → min), оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузк (p(ξ, t) → max), оболочки, имеющей минимальные напряжения (σ(ξ, t) → min) на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей и постоянных толщин оболочек.

Алгоритм определения оптимальных форм конструкций типа пологих оболочек при ограничениях 1-го рода рассмотрим на примере поиска минимума объема оболочки на всем множестве допустимых форм срединных поверхностей оболочки.

В основу алгоритма определения оптимальных форм положен алгоритм определения локального минимума функции. Ввиду того, что функция объема оболочки V(xi) монотонная, вогнутая и гладкая на всей области изменения параметров x = (ξ, t) [5-6], то можно утверждать, что найденный локальный экстремум будет являться и глобальным.

Итерационный алгоритм решения поставленной задачи включает в себя три метода поиска: градиентный спуск, случайный поиск и метод оврагов.

Перед началом поиска производится нормировка, устраняющая "простые" овраги, возникающие из-за разницы в размерности параметров или разной степени зависимости функций V(xi) и p(xi) от аргументов. Перейдем к новым безразмерным параметрам:

xi=Xi/xхар, i=1,n (1)

где xi - новое пространство безразмерных параметров, Xi - старое пространство параметров, xхар - характерные размеры.

В начале поиска для получения первого приближения экстремума использовалась одна из модификаций гради­ентного спуска наискорейший спуск [7, с. 48]. Происходила замена многомерного поиска последовательностью одномерных, причем в качестве направлений для одномерных поисков выбирались направ­ления антиградиента минимизируемой функции.

Для ускорения поиска вводились акселерации, то есть движения вдоль выбранного направления не с постоянным шагом, а с увеличением каждого последующего шага в α раз по сравнению с предыдущим. Это позволяет ускорить поиск, по крайней мере, на порядок, Коэффициент α подбирается опытным путем.

На следующем этапе поиска экстремума используется метод "наказания случайностью". Многомерный поиск сводится к последовательности одномерных. Направления для них выбираются случайным образом. Использование в ходе поиска элемента случайности делает итерационный процесс нахождения минимума более устойчивым и нечувствительным к мелкому рельефу поверхности V(xi).

Шаг поиска в методе "наказания случайностью" делается следующим образом:

∆xik+1= α∆xik, Vx<Vxk-1, xk Ω ; -∆xik+hς, Vx≥Vxk-1, xk `!in` Ω ; (2)

Здесь h – параметр, определяющий степень локализации случайного поиска,

ς - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке (-1, 1) .

Если при очередном шаге критерий качества V(xi) уменьшился и точка не вышла за границы области Ω, следующий шаг делается в том же направлении, что и предыдущий, но в α раз больший по величине. В случае увеличения V(xi) или выхода точки за границу Ω, поиск возвращается в предыдущую точку, после чего следует "наказание случайностью": экстремум ищется на множестве точек, равномерно распределенных внутри куба со стороной 2h и центром в точке, имеющей наименьшее значение критерия. После определения точки с еще меньшим значением V(x), центр куба перемещается в эту точку. В каждой очередной серии из N проб происходит уменьшение размеров куба

hk = chk-1, (3)

где с - коэффициент локализации (0<c<1). Таким образом, случайный дрейф куба к минимуму сочетается с локализацией поиска.

На завершающей стадии определяется экстремум в услови­ях овражных ситуаций, когда градиентные методы становятся неэффективными или перестают работать. Случайные перемещения центра куба вдоль дна оврага усредняются. Направление среднего перемещения принимается за направление для очередного одномерного поиска. Для этого запоминается положение центра куба в начале и конце очередной серии из N случайных проб, усредняются перемещения и делается первый шаг в предполагаемом направлении дна оврага

∆xik+1 = α[xik- xik-N]h/N, i=1,n (4)

После проведения заданного числа серий из N случайных проб поиск прекращается.

Максимизация функции f(x), очевидно, эквивалентна минимизации функции - f(x). Следовательно, с помощью описанного алгоритма можно решать задачу об определении как минимума объема оболочки V(xi) и минимума значений напряжений σ(xi), так и максимума критической нагрузки p(xi) на всем множестве допустимых форм оболочек.

Алгоритм определения оптимальных форм оболочек при ограничении 2-го рода

Алгоритм определения оптимальной формы оболочки рассмотрим на примере отыскания минимума объема оболочки при ограничении на величину критической нагрузки Поставленная задача относится к весьма сложному для решения типу задач нелинейного программирования, когда целевая функция и ограничения нелинейны. Выпуклость [8] функций критической нагрузки p(xi), напряжений σ(xi) и объема V(xi) позволяет применить для ее решения алгоритмы метода штрафных функций или метод скользящего допуска [7, с. 50]. Функция, описывающая величины критических нагрузок p(xi) не может быть вычислена вне области поиска П поэтому для реше­ния задачи используется метод внутренних штрафных функций. В этом методе поиск экстремума ведется внутри области поиска. В случае нарушения ограничений штрафная функция возвращает поиск внутрь области.

Допустим, ограничения выполняются с точностью до некоторого малого εR, то есть

p(xi)≤ εR, (5)

Тогда критерий качества можно представить в виде:

V(xi) = V(x)+ `sum_(k=1)^m` LR(pk)Vk(x), (6)

где LR(VR) - штрафные коэффициенты, которые выбираются сле­дующим образом:

LR(VR) = LR, если VR>0; 0, если VR≤0. (7)

В этом случае для выполнения ограничений достаточно, чтобы сумма штрафов не превышала положительную величину V*. В качестве V* можно принять характерное значение функции V(xi), то есть, ее абсолютную величину в начальной точке поиска (рисунок 2).

obol_2

Рисунок 2 – Иллюстрация нахождения оптимальной формы и толщины пологой оболочки

Алгоритм опробован для решения задач об определении формы срединной поверхности и толщины пологой оболочки минимального объема при ограничении на критическую нагрузку и величину напряжений [9-11]:

V(ξ, t)→Vmin; p(ξ, t) – p0≥0, (8)

V(ξ, t)→Vmin; σ(ξ, t) – σ0≤0, (9)

а также, оболочки, воспринимающей максимальную критическую нагрузку или напряжения в которой не превышают допустимые значения при ограниче­нии на величину объема:

p(ξ, t) →pmax; V(ξ, t) – V0≤0, (10)

σ(ξ, t)→σmin; V(ξ, t) – V0≤0. (11)

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданной критической нагрузке, экономия объема (веса) составляет 6%-12% по сравнению с традиционной сферической формой.

В задачах оптимизации формы оболочек минимального объема при заданном значении напряжений, экономия объема (веса) составляет 4%-9%.

В задачах оптимизации формы оболочек, воспринимающих максимальную критическую нагрузку при заданной величине объема, возрастание критической нагрузки составляет 5-10%.

В задачах оптимизации формы оболочек, имеющих минимальные напряжения при заданной величине объема, уменьшение напряжений составляет 3-7%.

Заключение

Алгоритм определения оптимальных параметров тонкостенных пространственных конструкций может быть использован для определения критической силы и напряжений для геометрически нелинейных пологих оболочек на упругом основании с переменной формой срединной поверхности при различных ограничениях. Апробация алгоритма показала, что за счет оптимизации достигается значительная экономия веса (объема) конструкций и увеличение несущей способности.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-9203.2016.8

Библиография
1.
Ступишин Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния пологих геометрически нелинейных оболочек вращения [Текст]: Л.Ю. Ступишин, А.Г. Колесников, Т.А. Озерова // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Техника и технологии. 2012. № 2-3. С. 232-235.
2.
Андреев В.И. Аналитическое решение физически нелинейной задачи для неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки [Текст]: Андреев В.И., Полякова Л.С. Вестник МГСУ. 2015. № 11. С. 38-45.
3.
Колесников А.Г. Увеличение эксплуатационной надежности оболочечных конструкций при различных типах нагружения [Текст]: А.Г. Колесников, Т.А. Толмачева // Юность и знания – гарантия успеха: Сборник научных трудов Международной научно-технической конференции. Курск, 2014. С. 158-160.
4.
Ступишин Л.Ю. Исследование оптимальных форм пологих геометрически нелинейных оболочек переменной толщины [Текст]: Ступишин Л.Ю., Колесников А.Г. Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 4. С. 11-13.
5.
Ступишин Л.Ю. Geometric nonlinear orthotropic shallow shells investigation [Текст]: Л.Ю. Ступишин, А.Г. Колесников // Applied Mechanics and Materials. 2014. Т. 501-504. С. 766-769.
6.
Трушин С.И. Устойчивость цилиндрических оболочек из упругопластического материала в процессе статического нагружения и разгрузки [Текст]: Трушин С.И., Иванов С.А. // Промышленное и гражданское строительство. 2012. № 3. С. 33-34.
7.
Скоков В.А. Некоторый вычислительный опыт решения задач нелинейного програмирования. [Текст]: В.А. Скоков // Математические методы исследования экономических задач. М., 1977. Вып. 7. С. 48-51.
8.
Ступишин Л.Ю. Исследование напряженно-деформированного состояния пологих геометрически нелинейных оболочек на круглом плане переменной формы при различных видах нагружения [Текст]: Л.Ю. Ступишин, А.Г. Колесников, Т.А. Озерова // Промышленное и гражданское строительство. 2013. № 5. С. 33-34.
9.
Ступишин Л.Ю. Восстановление несущей способности и эксплуатационных характеристик геометрически нелинейных пологих оболочек на прямоугольном плане [Текст]: Л.Ю. Ступишин, А.Г. Колесников // Промышленное и гражданское строительство. 2014. № 2. С. 51-53.
10.
Андреев В.И. Оптимизация по прочности толстостенных оболочек [Текст]: Андреев В.И., Потехин И.А. // Библиотека научных разработок и проектов МГСУ. М., 2011. С. 90.
11.
Ступишин Л.Ю. Методика определения оптимальных параметров ребристых оболочек с учетом конструктивных требований и требований механической безопасности [Текст]: Ступишин Л.Ю., Никитин К.Е. // Промышленное и гражданское строительство. 2013. № 2. С. 23-25.
12.
Коробейников А.Г., Кутузов И.М. Алгоритм обфускации // Кибернетика и программирование. 2013. № 3. C. 1-8. DOI: 10.7256/2306-4196.2013.3.9356. URL: http://www.e-notabene.ru/kp/article_9356.html
13.
Винокурова С.Е. Модификация метода навигационного графа для поиска пути в трехмерном пространстве // Программные системы и вычислительные методы. 2014. № 1. C. 109-124. DOI: 10.7256/2305-6061.2014.1.11346.
References (transliterated)
1.
Stupishin L.Yu. Issledovanie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya pologikh geometricheski nelineinykh obolochek vrashcheniya [Tekst]: L.Yu. Stupishin, A.G. Kolesnikov, T.A. Ozerova // Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Tekhnika i tekhnologii. 2012. № 2-3. S. 232-235.
2.
Andreev V.I. Analiticheskoe reshenie fizicheski nelineinoi zadachi dlya neodnorodnoi tolstostennoi tsilindricheskoi obolochki [Tekst]: Andreev V.I., Polyakova L.S. Vestnik MGSU. 2015. № 11. S. 38-45.
3.
Kolesnikov A.G. Uvelichenie ekspluatatsionnoi nadezhnosti obolochechnykh konstruktsii pri razlichnykh tipakh nagruzheniya [Tekst]: A.G. Kolesnikov, T.A. Tolmacheva // Yunost' i znaniya – garantiya uspekha: Sbornik nauchnykh trudov Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii. Kursk, 2014. S. 158-160.
4.
Stupishin L.Yu. Issledovanie optimal'nykh form pologikh geometricheski nelineinykh obolochek peremennoi tolshchiny [Tekst]: Stupishin L.Yu., Kolesnikov A.G. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2012. № 4. S. 11-13.
5.
Stupishin L.Yu. Geometric nonlinear orthotropic shallow shells investigation [Tekst]: L.Yu. Stupishin, A.G. Kolesnikov // Applied Mechanics and Materials. 2014. T. 501-504. S. 766-769.
6.
Trushin S.I. Ustoichivost' tsilindricheskikh obolochek iz uprugoplasticheskogo materiala v protsesse staticheskogo nagruzheniya i razgruzki [Tekst]: Trushin S.I., Ivanov S.A. // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2012. № 3. S. 33-34.
7.
Skokov V.A. Nekotoryi vychislitel'nyi opyt resheniya zadach nelineinogo programirovaniya. [Tekst]: V.A. Skokov // Matematicheskie metody issledovaniya ekonomicheskikh zadach. M., 1977. Vyp. 7. S. 48-51.
8.
Stupishin L.Yu. Issledovanie napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya pologikh geometricheski nelineinykh obolochek na kruglom plane peremennoi formy pri razlichnykh vidakh nagruzheniya [Tekst]: L.Yu. Stupishin, A.G. Kolesnikov, T.A. Ozerova // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2013. № 5. S. 33-34.
9.
Stupishin L.Yu. Vosstanovlenie nesushchei sposobnosti i ekspluatatsionnykh kharakteristik geometricheski nelineinykh pologikh obolochek na pryamougol'nom plane [Tekst]: L.Yu. Stupishin, A.G. Kolesnikov // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2014. № 2. S. 51-53.
10.
Andreev V.I. Optimizatsiya po prochnosti tolstostennykh obolochek [Tekst]: Andreev V.I., Potekhin I.A. // Biblioteka nauchnykh razrabotok i proektov MGSU. M., 2011. S. 90.
11.
Stupishin L.Yu. Metodika opredeleniya optimal'nykh parametrov rebristykh obolochek s uchetom konstruktivnykh trebovanii i trebovanii mekhanicheskoi bezopasnosti [Tekst]: Stupishin L.Yu., Nikitin K.E. // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2013. № 2. S. 23-25.
12.
Korobeinikov A.G., Kutuzov I.M. Algoritm obfuskatsii // Kibernetika i programmirovanie. 2013. № 3. C. 1-8. DOI: 10.7256/2306-4196.2013.3.9356. URL: http://www.e-notabene.ru/kp/article_9356.html
13.
Vinokurova S.E. Modifikatsiya metoda navigatsionnogo grafa dlya poiska puti v trekhmernom prostranstve // Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody. 2014. № 1. C. 109-124. DOI: 10.7256/2305-6061.2014.1.11346.
Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи


Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.
Сайт исторического журнала "History Illustrated"