Статья 'Обобщенный алгоритм нахождения катакаустики оптической системы' - журнал 'Программные системы и вычислительные методы' - NotaBene.ru
по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > Требования к статьям > Политика издания > Редакция > Порядок рецензирования статей > Редакционный совет > Ретракция статей > Этические принципы > О журнале > Политика открытого доступа > Оплата за публикации в открытом доступе > Online First Pre-Publication > Политика авторских прав и лицензий > Политика цифрового хранения публикации > Политика идентификации статей > Политика проверки на плагиат
Журналы индексируются
Реквизиты журнала
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Программные системы и вычислительные методы
Правильная ссылка на статью:

Обобщенный алгоритм нахождения катакаустики оптической системы

Любчинов Евгений Владимирович

старший преподаватель, кафедра "Инженерная геометрия и САПР", Омский Государственный Технический Университет

644050, Россия, Омская область, г. Омск, ул. Пр. Мира, 11, ауд. 8-518

Lyubchinov Evgenii Vladimirovich

Senior Lecturer, Department of Engineering Geometry and CAD, Omsk State Technical University

644050, Russia, Omskaya oblast', g. Omsk, ul. Pr. Mira, 11, aud. 8-518

Lubchinov.E.V@yandex.ru

DOI:

10.7256/2454-0714.2020.1.32275

Дата направления статьи в редакцию:

26-02-2020


Дата публикации:

09-04-2020


Аннотация: Автором работы предложен алгоритм определения катакаустики в оптической системе «источник-отражатель» на плоскости. Катакаустикой называется огибающая отраженных лучей от заданной кривой и исследование катакаустики при проектировании оптических систем является одной из основных задач. В работе приведены примеры решения данной задачи и представлена соответствующая визуализация. Особое внимание уделено задачам, где источник и отражатель имеют криволинейную форму, т.к. данные задачи в научной литературе ранее рассмотрены не были. Представленный алгоритм базируется на циклографической проекции пространственной кривой линии и ее оптическому свойству. Он обладает универсальностью и подходит для всех задач, где источник оптического излучения задается в виде центрального (точечного), параллельного или рассеянного пучка прямых (световых лучей). Главным преимуществом алгоритма является то, что в итоге получается аналитическое, т.е. точное решение задачи определения катакаустики. Результаты работы могут быть использованы в прикладных областях геометрической оптики, а также в различных системах автоматизированного проектирования, специализирующихся на моделировании освещения геометрических объектов.


Ключевые слова:

геометрическое моделирование, геометрическая оптика, циклографическое отображение, катакаустика, оптическое преобразование, волновой фронт, источник, приемник, отражатель, алгоритм

Abstract: The author of the work has proposed an algorithm for determining catacaustics in a “source-reflector” optical system on a plane. Katakaustika is called the envelope of reflected rays from a given curve and the study of catacaustics in the design of optical systems is one of the main tasks. The paper gives examples of solving this problem and presents the corresponding visualization. Particular attention is paid to problems where the source and reflector are curved, because these tasks in the scientific literature have not been previously considered. The presented algorithm is based on the cyclographic projection of the spatial curve of the line and its optical property. It is versatile and suitable for all tasks where the source of optical radiation is given in the form of a central (point), parallel or scattered beam of direct (light rays). The main advantage of the algorithm is that in the end it turns out analytical, i.e. exact solution to the problem of determining catacaustics. The results of the study can be used in applied fields of geometric optics, as well as in various computer-aided design systems specializing in modeling lighting of geometric objects.


Keywords:

geometric modeling, geometric optics, cyclographic mapping, catacaustic, optical conversion, wave front, source, receiver, reflector, algorithm

Введение

В прикладных областях, где активно применяются оптические системы отражения и преломления, работающие по законам геометрической оптики, в процессе геометрического расчета используются фокальные кривые, называемые каустиками. Каустика представляет собой огибающую отраженных (или преломленных) лучей. По терминологии Бернулли каустики отраженных лучей называются катакаустиками [1]. Расчет каустик широко применяется в геометрической оптике при исследовании интенсивности светового поля [2,3], в астрономии для определения геометрии небольших темных объектов (эффект гравитационной линзы) [4]. Каустики находят широкое применение в исследованиях волновых фронтов, например, в изучении концентрации массы вещества во Вселенной [5]. Теория каустик напрямую связана с одним из разделов современной математики – теорией катастроф [6]. Каустики применяются при решении различных задач в акустики, сейсмологии, квантовой механике и др. областях [7]. С точки зрения геометрии катакаустика представляет собой эволюту волнового фронта, а множество линий, моделирующих волновой фронт, является по отношению к ней эвольвентами [17].

При исследовании катакаустик в оптических системах исходным источником света, как правило, является либо точечный (центральный) источник, либо бесконечно удаленный (параллельный) [8]. С развитием технологического прогресса во многих сферах промышленности, например, в лазерной техники, оптике или компьютерной графике, возникает задача поиска катакаустики, когда источник может быть криволинейной формы и пучок лучей от него является рассеянным [9]. Авторами работы предлагаются метод и алгоритм нахождения катакаустик для криволинейного источника и отражателя. В основу метода положено циклографическое отображение пространства R3 на плоскость. Метод циклографического отображения появился в конце девятнадцатого века [10]. Современные информационные системы и технологии позволили развить и применить этот метод для решения широкого спектра актуальных научно-технических задач [11-14].

Суть циклографического метода заключается в том, что он позволяет отображать точку пространства R3 на плоскость проекций z=0 в виде направленной окружности - цикла. Для пространственной кривой циклографической проекцией будет являться огибающая циклов, центры которых являются ортогональными проекциями точек на исходной пространственной кривой. В общем случае циклографическая проекция кривой линии представляет собой две ветви огибающей и обладает известным оптическим свойством [12,15]: если принять одну из ветвей огибающей за источник излучения, а другую за приемник, то лучи света, вышедшие по нормали от линии-источника, отразившись от ортогональной проекции пространственной кривой (отражателя), попадут на линию-приемник по нормали к ней. Таким образом, образуется триада элементов, выполняющих оптическое преобразование, при этом в большинстве случаев возникает задача поиска одного элемента по двум другим [16-18]. Метод циклографического отображения находит применение в решение ряда задач, существующих в геометрической оптике [12,17,18].

Постановка задачи

В существующих методах получения катакаустик источник рассматривается как точечный с центральным пучком лучей, либо как прямолинейный с параллельным пучком. В работе ставится задача получения обобщенного алгоритма нахождения катакаустики оптической системы при заданных источнике и отражателе, имеющих криволинейную форму. В основу предлагаемого алгорима положено циклографическое отображение пространства на плоскость, а также оптическое свойство циклографической проекции кривой линии.

Описание алгоритма нахождения катакаустики

Пусть на плоскости заданы источник и отражатель. Требуется найти катакаустику этой системы. В циклографической интерпретации задача сводится к получению эволюты приемника [17]. Для решения задачи каждому элементу системы на плоскости ставится в соответствие их пространственный циклографический образ. Например, центральному источнику излучения (точечному пучку лучей) ставится в соответствие проецирующий α-конус. Такой конус имеет полуугол при вершине равный α=45°. Параллельному пучку лучей, заданному на плоскости прямой линией, ставится в соответствие α-плоскость, наклоненная к плоскости проекций также под углом α=45°. Для рассеянного пучка, заданного некоторой кривой, строится α-поверхность. Способ формообразования этой поверхности заключается в следующем. Пусть задана кривая a0 на плоскости, моделирующая источник излучения, в виде уравнений: . Для кривой a0 находится ее эволюта b0 по известным формулам [19]:

(1)

Затем по эволюте b0 восстанавливается пространственная эволюта b, координата z каждой точки которой равна радиусу кривизны линии a0. Формула для координаты z имеет следующий вид:

Таким образом, исходная кривая, моделирующая рассеянный пучок, и ее пространственная эволюта образуют α-поверхность, которая рассматривается как пространственный циклографический образ рассеянного пучка с носителем a0:

(2)

Затем заданному криволинейному отражателю ставится в соответствие проецирующая цилиндрическая поверхность, и задача на первом этапе сводится к нахождению пространственной линии l пересечения данных поверхностей . Следующим шагом будет построение циклографической проекции ранее найденой линии пересечения l. Для этого воспользуемся известными в литературе формулами для циклографической проекции [11]:

(3)

Одна из построенных ветвей циклографической проекции , например линия , совпадет с источником, а другая, - линия , будет искомым приемником. Эволюта линии-приемника и будет искомой катакаустикой оптической системы. На рис. 1 представлен общий алгоритм нахождения катакаустики оптической системы.

Схема 3.jpg

Рис. 1. Алгоритм нахождения катакаустики оптической системы

Примеры работоспособности алгоритма

Пример 1. Найдем катакаустику системы, в которой источник излучения задан центральным (точечным) пучком лучей и имеет координаты A(-3;0), а отражатель представляет собой эллипс, расположенный в центре системы координат. Эллипс описывается уравнением:

где . Исходные данные системы «источник-отражатель» представлены на рис. 2.

Поставим исходным элементам в соответствие их циклографические образы. Циклографическим образом центрального пучка лучей является α-конус Ψ с произвольно выбранной координатой z его вершины (в примере она равна 5 ед.). Уравнение α-конуса Ψ имеет вид: .

По отражателю восстанавливается проецирующая цилиндрическая поверхность Φ и определяется линия пересечения lΦ (рис. 3). Затем, по формулам (3) строится циклографическая проекция линии l. Линия состоит из двух ветвей, для которых по формулам (1) строятся эволюты, которые и представляют собой искомую катакаустику оптической системы.

рис. 1.jpg

Рис. 2. Элементы системы: центральный источник (А) и эллиптический отражатель

рис. 3.1.jpg

Рис. 3. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-конуса

рис. 4.1.jpg

Рис. 4. Катакаустика оптической системы: точечный источник - эллиптический отражатель

Пример 2. В качестве более сложной задачи рассмотрим систему элементов (рис. 5 и 6), где источник излучения является рассеянным и его носителем служит кривая линия. В данном случае источник излучения задан сплайном Безье второй степени, состоящим из двух сегментов, а отражатель - параболой.

Последующие вычислительные операции соответствуют вышеприведенному алгоритму, представленному на рис.1. Сегментам сплайна, моделирующим источник излучения, ставятся в соответствие α-поверхности Ψ1 и Ψ2 соответственно, а отражателю – проецирующая цилиндрическая поверхность Φ. Затем находится линия пересечения l=( Ψ1Ψ2)Φ (рис. 5). По формулам (3) получаем циклографическую проекцию линии пересечения l. Одна из ветвей циклографической проекции полностью совпадает с исходной линией источника, а другая является мнимым приемником по причине особого расположения относительно отражателя (рис. 5). Эволюта линии мнимого приемника, полученная по уравнениям (1), и будет искомой катакаустикой. Итоговый результат представлен на рис. 6.

Проведение вычислительных экспериментов показало, что предложенный алгоритм универсален и позволяет решить ранее нерассматриваемые подобные задачи. Тем не менее, алгоритм требует вычислительных ресурсов большого объема в случае, когда исходными кривыми являются кривые высоких порядков. Для решения такой задачи, как правило, придется прибегнуть к численным методам расчета.

рис. 8.2.jpg

Рис. 5. Линия пересечения l проецирующей цилиндрической поверхности и α-поверхности

рис. 7.2.jpg

Рис. 6. Катакаустика в оптической системе с рассеянным источником излучения

Выводы и заключение

В работе показана возможность аналитического определения катакаустики в оптических системах на плоскости. Представлен алгоритм, который основан на методе циклографического отображения пространства. Преимуществом данного алгоритма является возможность определение катакаустики оптических систем с рассеянным источником, ранее не исследованных в научной литературе. Данный алгоритм может быть использован для исследования оптических систем в прикладных областях геометрической оптики.

Библиография
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
References
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Определение катакаустики с помощью метода циклографического отображения Журнал: Программные системы и вычислительные методы Актуальность выбранной автором проблемы не вызывает сомнения. Четкая структура, внутренние подзаголовки, казалось бы, свидетельствуют о глубоком научном содержании. Из достоинств работы следует указать на расшифровку и историю возникновения термина, многочисленный иллюстративный ряд. Библиография достаточно обширна и выполняет также просветительские функции. Выводы носят итоговый характер: «В работе показана возможность аналитического определения катакаустики в оптических системах на плоскости. Представлен алгоритм, который основан на методе циклографического отображения пространства. Преимуществом данного алгоритма является возможность определение катакаустики оптических систем с рассеянным источником, ранее не исследованных в научной литературе. Данный алгоритм может быть использован для исследования оптических систем в прикладных областях геометрической оптики». Однако, статья не лишена, на взгляд рецензента, недостатков, которые касаются, прежде всего оформления и логики построения статьи, а также ликвидации повторов. Среди недостатков, на наш взгляд, следует отметить следующие. Бросается в глаза некоторое несоответствие: именно внутренние подзаголовки вызывают ощущение, что статья, скорее, носит обучающий характер и ориентирована на студенческую молодежь: I. Введение, II. Постановка задачи (но в тексте этого раздела повторятся слова (В работе ставится задача [тогда зачем подзаголовок?]), III. Теория (Может быть предложения о методе поместить во введение?), IV. Результаты экспериментов, V. Обсуждение результатов, VI. Выводы и заключение В разделе «Теории» автор пишет: «Рассмотрим задачу определения катакаустики на основе метода циклографического отображения», а это, на взгляд рецензента, уже не теория. В этом же разделе помещен рис. 1, на котором «представлен общий алгоритм нахождения катакаустики оптической системы», но в подписи приведена несколько иная информация: «Рис. 1. Алгоритм поиска катакаустики в оптической системе «источник-отражатель». Возникает вопрос: нахождения или поиска? Среди синонимов слова «нахождение» слово «поиск» встречается только на 17 месте. Фраза «Как было отмечено выше, катакаустика представляет собой эволюту волнового фронта, или множество линий-приемников, имитирующих волной фронт» является повтором. Обилие формул скорее затрудняет усвоение содержания. Итоговый раздел «Результаты экспериментов» почему-то начинается с рассмотрения примеров и при этом демонстрируется решение задач. В разделе «Обсуждение результатов» сказано, что проведение вычислительных экспериментов показало, что «предложенный алгоритм требует вычислительных ресурсов большого объема», но это, скорее относится к теоретическому разделу. Заметим, что введение не нумеруется. Статья будет востребована как узкими специалистами.
Замечания главного редактора от 6.4.2020 : Статья была доработана автором в соответсвии с требованиями рецензии
Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи


Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.