Статья 'Интуиция в математике: от интуитивизма А. Пуанкаре к интуиционизму Л. Брауэра и Г. Вейля' - журнал 'Философская мысль' - NotaBene.ru
по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > О журнале > Требования к статьям > Редакционный совет > Редакция журнала > Порядок рецензирования статей > Политика издания > Ретракция статей > Этические принципы > Политика открытого доступа > Оплата за публикации в открытом доступе > Online First Pre-Publication > Политика авторских прав и лицензий > Политика цифрового хранения публикации > Политика идентификации статей > Политика проверки на плагиат
Журналы индексируются
Реквизиты журнала

Публикация за 72 часа - теперь это реальность!
При необходимости издательство предоставляет авторам услугу сверхсрочной полноценной публикации. Уже через 72 часа статья появляется в числе опубликованных на сайте издательства с DOI и номерами страниц.
По первому требованию предоставляем все подтверждающие публикацию документы!
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Философская мысль
Правильная ссылка на статью:

Интуиция в математике: от интуитивизма А. Пуанкаре к интуиционизму Л. Брауэра и Г. Вейля

Побережный Иван Александрович

аспирант, кафедра философии, Курский Государственный Университет

305000, Россия, Курская область, г. Курск, ул. Радищева, 33

Poberezhnyi Ivan Aleksandrovich

Postgraduate student, the department of Philosophy, Kursk State University

305000, Russia, Kurskaya oblast', g. Kursk, ul. Radishcheva, 33

ivan.poberezhnyy@gmail.com

DOI:

10.25136/2409-8728.2019.5.30076

Дата направления статьи в редакцию:

16-06-2019


Дата публикации:

23-06-2019


Аннотация: В статье на основе работ А. Пуанкаре, Г. Вейля, А. Гейтинга и В.Ф. Асмуса и др. показана связь идей интуитивизма А. Пуанкаре с идеями интуиционизма Л. Брауэра и Г. Вейля. Предмет исследования – роль интуиции в формировании оснований математической науки. Автор рассматривает состояние математической науки на рубеже XIX – XX веков, кризис оснований математики. Первым направлением философии математики, пытающимся преодолеть этот кризис, был логицизм Рассела – попытка формирования математики на логической основе с исключением интуитивных элементов. А. Пуанкаре, подвергая это направление критике, разрабатывает учение о приоритете интеллектуальной интуиции в формировании математики. Методология исследования включает в себя методы: междисциплинарный, системного анализа, рациональной реконструкции, компаративистский, соотношение исторического и логического. В статье показана эвристическая ценность его идей как для развития науки, так и для понимания природы научного творчества. Далее описаны основные идеи математического интуиционизма. Показана их связь с идеями А. Пуанкаре о приоритете интеллектуальной интуиции. В свою очередь, идеи интуиционистов, выражая настроения гуманистически мыслящих ученых, стали плодотворной почвой для разработки онтологических и гносеологических оснований математики.


Ключевые слова: логицизм, интуитивизм, парадокс Рассела, теория множеств, основания математики, гносеология, логика, интуиция, интуиционизм, становящийся объект

Abstract: Leaning on the works of H. Poincaré, H. Weyl, A. Heyting, V. F. Asmus and other, this article demonstrates the correlation between the ideas of intuitivism of H. Poincaré and the ideas of intuitionism of L. E. J. Brower and H. Weyl. The subject of this research is the role of intuition in formation of the fundamentals of mathematical science. The author examines the state of mathematical science at the turn of the XIX-XX centuries, as well as the crises of the foundations of mathematics. The firs trend of the philosophy of mathematics pursuing to overcome this crisis became the Russell’s logicism – an attempt to form mathematics on the logical basis, excluding the intuitive elements. Leveling criticism at this trend, H. Poincaré develops a doctrine on the priority of intellectual intuition in the formation of mathematics. The article reveals the heuristic value of Russell’s ideas for both, the advancement of science, and comprehension of the nature of scientific creativity. The author describes their correlation with the ideas of H. Poincaré regarding the priority of intellectual intuition. The ideas of intuitionists, in turn, expressing the moods of scholars with humanistic reasoning, became a fruitful ground for the development of ontological and gnoseological foundations of mathematics.



Keywords:

intuitionism, logicism, intuitivism, set theory, Russell's paradox, foundations of mathematics, gnosiology, logic, intuition, becoming object

Допустима ли имплицитность, неявность научного, в частности, математического, знания? Насколько допустима? Какова роль интуиции в формировании математических наук? Эти вопросы, идущие еще со времен античности, остро встали в конце XIX столетия, во время очередного кризиса оснований математики.

Французский ученый А. Пуанкаре в своей работе «Интуиция и логика в математике» замечает, что среди математиков можно заметить два типа мышления, два различных подхода или метода научного исследования – одни «…прежде всего заняты логикой», другие «…вверяют себя интуиции» [11, с. 205]. По мнению ученого, подход определяется даже не предметом исследования, а природой ума математика. А. Пуанкаре детально обосновывает важность обоих подходов, подчеркивая при этом, что в научном творчестве главную роль играет интуиция, а логика необходима для строгого обоснования интуитивных открытий [10]. Однако А. Пуанкаре не предпринял попытки создания непротиворечивой математики на основе интуиции. Такая попытка была осуществлена в математическом интуиционизме.

Интуиционизм можно считать последующим этапом разработки учения об интуиции в математическом познании. Видные представители этого направления — голландский математик Л. Брауэр и швейцарский математик Г. Вейль. В статье мы намерены показать связь идей интуитивизма А. Пуанкаре с идеями интуиционизма Л. Брауэра и Г. Вейля.

В молодом возрасте математик А. Пуанкаре был сторонником теории множеств Г. Кантора, но после кризиса этой теории на рубеже XIX – XX веков разочаровывается в ней, так как для него главным критерием полноценности теории была ее непротиворечивость. Кризис, связанный с обнаруженными в теории множеств противоречиями, к которым приводят логически правильные рассуждения, кризис, связанный с так называемым парадоксом Рассела в теории множеств, стал кризисом оснований математики.

Первым течением философии математики, направленным на преодоление этого кризиса, был логицизм английских математиков Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда. Для представителей данного направления основание математики – это не что иное, как логика, а любые интуитивные элементы должны быть исключены. Содержание математической науки формируется на небольшом наборе определений и утверждений, принимаемых без доказательства. Логические отношения выражаются фиксированными символами. Все выводы новых положений производятся согласно строгим законам и правилам логики [1]. Логицизм отрицает не только интуитивную трактовку математики, но и кантовское учение о пространстве и времени как априорных формах интуитивного мышления, на которые опираются априорные синтетические суждения в математике. Предвестие гносеологии логицизма его представители видели в математике и в философии Г. Лейбница, в его аналитической теории суждения и истины, в его взгляде на аксиомы.

Попытка обоснования математики понятиями логики встретила серьёзную критику А. Пуанкаре в его работе «Математика и логика». А. Пуанкаре считает, что стремление свести математику к одной лишь логике приведет к значительным трудностям, суть которых состоит в том, что невозможно полностью удалить из математических рассуждений те их элементы и принципы, которые основываются не на логике, а на непосредственном интеллектуальном усмотрении, то есть на интуиции. А. Пуанкаре считает, что «чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке… для того, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова "интуиция"» [11, с. 210]. Только постижение истины непосредственным интеллектуальным восприятием ее содержания, интуитивным, а не логическим путем доказательства позволяет получить новое знание, сделав к нему скачок. По мнению А. Пуанкаре, «…сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер» [11, с. 213].

Он решительно отверг концепцию актуальной бесконечности, которая представляет собой бесконечное множество в качестве математического объекта. Признаёт Пуанкаре только потенциальную, становящуюся бесконечность. Во избежание парадоксов ученый выдвигает требование, чтобы определения в математике не содержали ссылок не только на определяемое понятие, но и на множество, его содержащее, то есть были строго предикативными, — в противном случае при включении нового элемента определение изменит состав этого множества, и таким образом возникает замкнутый круг.

Нужно отметить, что Пуанкаре использует термин «интуиция» в различных смыслах. Так, он говорит об интеллектуальной и чувственной интуиции. «В одних случаях "интуиция" выступает у Пуанкаре как принцип математического рассуждения, как основание и условие математической дедукции. В других же случаях "интуиция" толкуется как синоним математической "догадки", математического вдохновения, как условие творчества в математике» — замечает В.Ф. Асмус [2, с. 243]. А. Пуанкаре обнаруживает в человеке несколько видов интуиции и считает, что аналитикам для открытий в математике необходима интуиция именно интеллектуальной природы. Интеллектуальная интуиция, интуиция «чистого числа» лежит в основе математического творчества. Она позволяет математикам не только доказывать различные утверждеия, но и получать новое знание. Но при этом ученый не склонен преувеличивать роль интуиции и отвергать значимость логики. «Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства, интуиция есть орудие изобретения» [11, с. 215]. Если рассматривать работы античных математиков, то, на первый взгляд, их стиль мышления близок к интуитивизму, но, вникнув в ход идей того времени, можно обнаружить, что многие из древних математиков были аналитиками.

Примерно в то же время, когда становился популярным логицизм, группа математиков, называвших себя интуиционистами, предложила диаметрально противоположный подход к обоснованию математической науки. По мнению М. Клайна, «Интуиционизм в широком смысле слова восходит по крайней мере к Декарту и Паскалю» [9, с. 267]. Декарт в «Правилах для руководства ума» представляет интуицию как прочное понятие ясного ума, как предельно достоверное благодаря своей простоте. Паскаль в своих работах по математике также опирался преимущественно на интуицию. Но интуиционизм Брауэра возник и развился во влиятельное течение не как философское или эпистемологическое направление, а как направление в математике. В этом его принципиальное отличие от философского интуитивизма. В интуиционизме особенным образом разрабатываются такие математические дисциплины, как математическая логика, дифференциальное и интегральное исчисления, теория множеств, топология, теория функций и другие. А. Гейтинг в своей работе «Обзор исследований по основаниям математики» относит к интуиционистам тех математиков, которые приняли два принципа:

«1) Математика обладает не только чисто формальным, но и содержательным значением. 2) Математические предметы непосредственно постигаются мыслящим духом; следовательно, математическое познание не зависит от опыта» [7, с. 9].

Первоначально идея интуиционистского истолкования математики была выдвинута в 1907 году голландским ученым Л. Брауэром в его диссертации «Об основаниях математики». Мысль Брауэра заключалась в том, что математику нужно не обосновывать, а строить по-другому. Это был неожиданный, достаточно революционный подход к решению проблемы. Весь математический научный мир в это время искал возможность построения твердого основания классической математики. Эти основания пострадали от того, что был обнаружен упомянутый нами выше парадокс теории множеств Г. Кантора. Той теории, которая многим виделась средством построения фундамента классической математики. Л. Брауэр предложил, наверное, самый радикальный выход. Он предлагает вообще отказаться от какой-либо связи с учением Г. Кантора, то есть построение математических объектов должно основываться не на понятии множества, а на интуитивно ясных умственных построениях. Понятие натурального числа, математическая индукция, операции сложения и умножения считаются базовыми интуитивно ясными понятиями и образуют арифметику натуральных чисел, основывая ее на интуиции времени.

Как направление интуиционизм оформился в научных работах Л. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга. Формализацию интуиционистской теории в 1920-е гг. осуществили наши соотечественники В.И. Гливенко и А.Н. Колмогоров. Заслуга Л. Брауэра прежде всего состоит в том, что он, рассматривая субъект, создающий математическую конструкцию, «…сформулировал свое видение идеального математического объекта как чистой конструкции ума» [8, с. 86].

Л. Брауэр считал, что язык, а также наука, в частности математика – это не просто какие-то системы правил и предложений, а формы человеческой деятельности, имеющей практическую направленность. Построение математики как науки, как системы знаний, стало возможным только на высших ступенях культуры через абстракцию высокого уровня. «"Первоинтуиция" математики есть субстрат всех свойств, генезис которых выстраивает бесконечность как реальность. Это приводит, таким образом, сначала к созданию системы натуральных чисел, затем – системы действительных чисел, и, наконец, к созданию всей математики» [8, с. 87].

Одним из основных отличий интуиционистской математики от классической является отказ от применения закона исключения третьего к бесконечным множествам, что приводит к невозможности доказательства существования математических объектов методом «от противного», а также отказ от абстракции актуальной бесконечности. Как и А. Пуанкаре, интуиционисты полагают, что абстракция потенциальной осуществимости лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности. Вместо обоснования классической математики ставится задача формирования математики интуиционистской.

Несмотря на то, что представители интуиционизма пытаются избежать метафизических аспектов оснований математической науки, в интуиционизме можно обнаружить элементы математического реализма. Это, в частности, касается вопросов, связанных с выявлением объективных компонентов природы математических истин.

Русский мыслитель Н.О. Лосский выделял три типа интуиции – чувственную, интеллектуальную и мистическую. Л. Брауэр, как в свое время И. Кант, придает большое значение интуиции времени в математике, но, в отличие от И. Канта, отрицает ее чувственный характер. Интуиция времени, которая у интуиционистов играет ключевую роль в объяснении математической деятельности, представляет собой, как и у А. Пуанкаре, интеллектуальную интуицию. У Брауэра интуиция не опирается на представление. Однако она не относится и к той категории «сверхчувственной» интуиции, которую приписывают мистикам. Брауэр отделяет, отграничивает сферу познания от сферы трансцендентного. Органом познания, органом интуитивного восприятия для Брауэра является интеллект [3]. Но при этом он решительно отвергает понимание интуиции как чего-то статического, соответствующего «состоянию покоя». Познание, в том числе и математическое, по Брауэру, – это динамический процесс, и интуиция математического интуиционизма – восприятие становления, процесса, стремление к интуитивно данному.

Рассматривая полемику Л. Брауэра с оппонентами, Г. Вейль в работе «О философии математики» обращает внимание на то, что рассмотрение оснований математики поднимается на общефилософский эпистемологический уровень, переходя к общим вопросам теории научного познания. Эта полемика продолжает античное противостояние между метафизическим бытием Парменида и диалектическим становлением Гераклита. Математический объект в интуиционистской математике – объект становящийся, появляющийся лишь путем построения. «Ледяной покров, однако, разбился вдребезги, – пишет Г. Вейль, – и вскоре момент текучести стал полновластным господином над неизменностью» [4, с. 22].

Далее Вейль указывает, что абсолютистская мысль в душе человека восстает против интуиционизма, и «… математик со скорбью смотрит на то, как словно туман расплывается большая часть его высоко вознесшихся теорий» [4, с. 26]. Сам Г. Вейль связывает восприятие числа с пространственно-временными характеристиками бытия человека в мире. Категорию времени он считает основополагающей предпосылкой для тех действий разума, которые имеют дело с понятием числа. При таком обосновании наиболее существенным является распорядок чисел, то есть числа первоначально выступают как порядковые, занимающие определенное место в ряду. Рассматривая возможность первичности понятия количественного числа, Вейль замечает, что в данном случае необходимо введение «критерия равночисленности», который допустим, если «…акты установления соответствия производятся один за другим в упорядоченной временной последовательности, а значит, если оказываются упорядоченными элементы обоих множеств» [4, с. 62].

Связь между арифметикой и временем, с точки зрения интуиционистов, менее фундаментальна, чем между геометрией и пространством. Пространство определяется как бесконечное не только в смысле отсутствия его границ, но и в смысле бесконечного уточнения местоположения точки относительно других точек. Оно «…в любом своем месте бесконечно, так сказать, вовнутрь». Причем это присуще не только пространству, но и «…непрерывной градации качеств вещей внешнего мира» [4, с. 68]. Одним из базовых понятий математики становится понятие континуума, и Л. Брауэр вводит собственное определение понятия последовательности. Он понимает под этим понятием не такой ряд элементов, который задается некоторым законом, а такой, который формируется свободным выбором каждого члена. Иными словами, математика – это не только тексты и формулы, но прежде всего, деятельность человека, волевая, творческая деятельность. Это личностное знание и конструирующая интуиция человека [12].

Таким образом, несмотря на существующие отличия между интуитивизмом А. Пуанкаре и интуиционизмом Л. Брауэра и Г. Вейля, идеи А. Пуанкаре о приоритете интеллектуальной интуиции оказали значительное влияние на возникновение и развитие интуиционизма. Интуиционизм в значительной степени сформирован на этих идеях. В свою очередь, идеи интуиционистов, выражая настроения гуманистически мыслящих ученых, оказали большое влияние на математику и философию математики XX века и на всю современную философию науки. На их основе сформировались математический конструктивизм А.А. Маркова, влиятельное направление в отечественной математике прошлого столетия, а также другие научные школы и направления. Эвристическая ценность этих идей заключается прежде всего в том, что они стали плодотворной почвой для формирования онтологического и гносеологического фундамента математики.

Библиография
1.
Арепьев Е.И. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики: геометрическая составляющая//Философская Россия. 2007. № 3.-С. 144-151.
2.
Асмус В.Ф.. Проблема интуиции в философии и математике. (Очерк истории: XVII-начало XX в.) М.: Мысль, 1965-315 с..
3.
Брауэр Л.Э.Я. Математика, наука и язык/ пер. с сокр. А.С. Левченко // Вестник РГГУ. Серия Философия. Социология. 2010. №13(56).-С. 249–258.
4.
Вейль Г. О философии математики, М.—Л., 1934. – 128 с.
5.
Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. / Под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина. — М.: Наука, 1989. — 400 с.
6.
Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1969. – 200 с.
7.
Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм. Теория доказательства. М.-Л., 1936. – 96 с.
8.
Клишина М.В., Казарян В.П. Идеи Брауэра в контексте философии / Российский гуманитарный журнал. 2018. Том 7. №2. – С. 85-95
9.
Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ./Под ред., с предисл. и примеч. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1984. – 434 с.
10.
Пуанкаре А., Кутюра Л. Математика и логика, М.: ЛКИ, 2007.-152 с.
11.
Пуанкаре А.О науке: Пер. с фр./ Под ред. Л.С. Понтрягина. – 2-е изд., стер.-М.: Наука, 1990. – 736 с.
12.
Султанова Л.Б. Интуиция и эвристика в математике // Российский гуманитарный журнал. 2013. Т. 2. №3.-С. 237–251
References (transliterated)
1.
Arep'ev E.I. Ontologicheskie i gnoseologicheskie komponenty osnovanii matematiki: geometricheskaya sostavlyayushchaya//Filosofskaya Rossiya. 2007. № 3.-S. 144-151.
2.
Asmus V.F.. Problema intuitsii v filosofii i matematike. (Ocherk istorii: XVII-nachalo XX v.) M.: Mysl', 1965-315 s..
3.
Brauer L.E.Ya. Matematika, nauka i yazyk/ per. s sokr. A.S. Levchenko // Vestnik RGGU. Seriya Filosofiya. Sotsiologiya. 2010. №13(56).-S. 249–258.
4.
Veil' G. O filosofii matematiki, M.—L., 1934. – 128 s.
5.
Veil' G. Matematicheskoe myshlenie: Per. s angl. i nem. / Pod red. B.V. Biryukova i A.N. Parshina. — M.: Nauka, 1989. — 400 s.
6.
Geiting A. Intuitsionizm. M.: Mir, 1969. – 200 s.
7.
Geiting A. Obzor issledovanii po osnovaniyam matematiki. Intuitsionizm. Teoriya dokazatel'stva. M.-L., 1936. – 96 s.
8.
Klishina M.V., Kazaryan V.P. Idei Brauera v kontekste filosofii / Rossiiskii gumanitarnyi zhurnal. 2018. Tom 7. №2. – S. 85-95
9.
Klain M. Matematika. Utrata opredelennosti: Per. s angl./Pod red., s predisl. i primech. I.M. Yagloma. – M.: Mir, 1984. – 434 s.
10.
Puankare A., Kutyura L. Matematika i logika, M.: LKI, 2007.-152 s.
11.
Puankare A.O nauke: Per. s fr./ Pod red. L.S. Pontryagina. – 2-e izd., ster.-M.: Nauka, 1990. – 736 s.
12.
Sultanova L.B. Intuitsiya i evristika v matematike // Rossiiskii gumanitarnyi zhurnal. 2013. T. 2. №3.-S. 237–251

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Споры о том рождаются или становятся гениями, что такое научное предвидение, чем обусловлены те или иные научные открытия, и даже различия между лириками и физиками ведутся с самых давних времен. Одни говорят, что гений – это на 99 % труд и лишь частичка остается на природный талант, а другие ставят во главу угла изначальные задатки конкретного человека. Еще античные мудрецы спорили о том, кого можно считать настоящим ученым, а сегодня для определения человека, которого можно назвать ученым, в разных странах мира разработана целая формализованная система оценок и достижений: так, в России уже не один год существует список научных журналов, одобренных Высшей аттестационной комиссией. Впрочем, и вокруг этого списка, точнее правомерности включения в него того или иного издания, в научной и околонаучной среде ведутся ожесточенные дискуссии. Но гораздо более сложным является вопрос о том, как, с помощью каких факторов появляются на свет научные открытия. Всем памятны знаменитый вошедший в историю случай Архимеда, которому удалось разрешить проблему волею случая. А чего стоит легенда о том, что Д.И. Менделеев увидел свою таблицу периодических элементов во сне? Сам ученый относился к этим досужим вымыслам иронически: «Я над ней, может быть, двадцать лет думал, а вы думаете: сидел и вдруг… готово». И все же какое место занимает интуиция в повседневной работе ученого? И что вообще понимается под интеллектуальной интуицией? Ответ на этот вопрос представляется далеко не однозначным и в то же время во многом определяющим научную методологию.
Указанные обстоятельства определяют актуальность представленной на рецензирование статьи, предметом которой является роль интуиции в формировании математических наук. Автор ставит своей задачей определить само понимание термина «интуиция» А. Пуанкаре, показать определенную преемственность интуитивизма А. Пуанкаре и интуиционизму Л. Брауэра и Г. Вейля, а также определить влияние интуиционизма на отечественные научные школы и направления.
Работа основана на принципах анализа и синтеза, достоверности, объективности, методологической базой исследования выступают системный подход, в основе которого лежит рассмотрение объекта как целостного комплекса взаимосвязанных элементов, а также сравнительный метод.
Научная новизна статьи заключается в самой постановке темы: автор стремится выявить связь идей интуитивизма А. Пуанкаре с идеями интуиционизма Л. Брауэра и Г. Вейля.
Рассматривая библиографический список статьи, как позитивный момент следует отметить его разносторонность (всего список литературы включает в себя 12 различных источников и исследований). Из привлекаемых автором источников укажем на труды Л.Э.Я. Брауэра, Г. Вейля и А. Пуанкаре. Из используемых исследований выделим работы одного из самых выдающихся отечественных философов советского периода В.Ф. Асмуса, голландского математика и логика А. Гейтинга, Л.Б. Султановой и других авторов, в которых рассматриваются проблемы интуиции в философии и математике. Отметим, что библиография имеет важность как с научной, так и с просветительской точки зрения: читатели после знакомства с текстом могут обратиться к другим материалам по ее теме. В целом, на наш взгляд, комплексное использование различных источников и исследований позволило автору должным образом раскрыть поставленную тему.
Стиль работы является научным, вместе с тем доступным для понимания не только специалистам, но и всем тем, кто интересуется как философией науки, в целом, так и ролью интуиции в формировании математики. Апелляция к оппонентам представлена в выявлении проблемы на уровне собранной информации, полученной автором в ходе работы над темой исследования.
Структура работы отличается определенной логичностью и последовательностью, в ней можно выделить несколько разделов, в тои числе краткое введение, основную часть, заключение. В начале автор определяет актуальность темы, показывает, что идущие еще с античных времен споры о том, «допустима ли имплицитность, неявность научного, в частности, математического, знания? Насколько допустима? Какова роль интуиции в формировании математических наук?», обострились в конце XIX в., что было обусловлено «кризисом, связанным с обнаруженными в теории множеств противоречиями, к которым приводят логически правильные рассуждения, кризисом, связанным с так называемым парадоксом Рассела в теории множеств». Ставший первой попыткой выйти из этого кризиса логицизм Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда очень скоро вызвал серьезные возражения. Обращаясь к работе А. Пуанкаре «Математика и логика», автор рецензируемой статьи показывает, что по мнению выдающего французского исследователя, «стремление свести математику к одной лишь логике приведет к значительным трудностям, суть которых состоит в том, что невозможно полностью удалить из математических рассуждений те их элементы и принципы, которые основываются не на логике, а на непосредственном интеллектуальном усмотрении, то есть на интуиции». Примерно в это же время появляется такое течение, как интуиционизм. Примечательно, что как показывается в статье, «интуиционизм Брауэра возник и развился во влиятельное течение не как философское или эпистемологическое направление, а как направление в математике».
Главным выводом статьи является то, что «несмотря на существующие отличия между интуитивизмом А. Пуанкаре и интуиционизмом Л. Брауэра и Г. Вейля, идеи А. Пуанкаре о приоритете интеллектуальной интуиции оказали значительное влияние на возникновение и развитие интуиционизма».
Представленная на рецензирование статья посвящена актуальной теме, вызовет читательский интерес, а ее материалы и выводы могут быть использованы в курсах лекций по философии науки, так и в различных спецкурсах.
На наш взгляд, статья может быть рекомендована для публикации в журнале «Философская мысль».

Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи


Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.
Сайт исторического журнала "History Illustrated"