по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > О журнале > Требования к статьям > Порядок рецензирования статей > Рецензирование за 24 часа – как это возможно? > Ретракция статей > Этические принципы > Политика открытого доступа > Оплата за публикации в открытом доступе > Публикация за 72 часа: что это? > Политика авторских прав и лицензий > Политика цифрового хранения публикации > Политика идентификации статей > Политика проверки на плагиат > Редакция > Редакционный совет
Журналы индексируются
Реквизиты журнала

Публикация за 72 часа - теперь это реальность!
При необходимости издательство предоставляет авторам услугу сверхсрочной полноценной публикации. Уже через 72 часа статья появляется в числе опубликованных на сайте издательства с DOI и номерами страниц.
По первому требованию предоставляем все подтверждающие публикацию документы!
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Историческая информатика
Правильная ссылка на статью:

О вариационном подходе к моделированию средневекового размещения населения (на примере Деревской пятины Новгородской земли конца XV века)
Шпирко Сергей Валерьевич

кандидат физико-математических наук

доцент, Российский Государственный Гуманитарный Университет, Историко-Архивный институт

119313, Россия, г. Москва, Ленинский проспект, 88, корп. 3

Shpirko Sergey

PhD in Physics and Mathematics

Associate Professor, Moscow State Historical Archives Institute, Russian State University for the Humanities

119313, Russia, g. Moscow, ul. Leninskii Prospekt, 88 korpus 3, kv. 122

shpirkos@mail.ru
Другие публикации этого автора
 

 

Аннотация.

Математическое моделирование находит все большее применение при изучении пространственного размещения населения, что обусловлено необходимостью исследования динамики численности и плотности населения, реконструкции недостающих данных, выявлении факторов расселения и оценки их влияния на этот процесс. Предметом настоящего исследования является разработка модели системы размещения центров (поселенческой структуры) одноуровневой иерархии. Целью такого моделирования является выявление основных факторов и оценка их влияния на процесс; установление соотношений между оптимальными параметрами, характеризующими систему размещения центров. Разработанная автором модель основана на новаторском подходе С.М. Гусейн-Заде, позволяющим описывать закономерности в размещении населенных пунктов и других центров на территориях в условиях их неоднородности. Использование в рамках этого подхода методов вариационного исчисления и понятия оптимальности Парето позволяет находить параметры сложившихся систем размещения центров и количественно описывать имеющие в них место явлений. Апробация предложенной модели, проводившаяся на конкретном примере средневекового сельского расселения, показала ее адекватность и корректность. С высокой долей вероятности было показано, что в основе процесса свободного расселения лежали два взаимно уравновешивающих фактора: центростремительный (концентрация поселений вокруг своих центров) и центробежный (размещение населения максимально близко к обрабатываемым участкам).

Ключевые слова: Математическое моделирование, распределение Пуассона, теория центральных мест, писцовая книга, cистема размещения центров, вариационное исчисление, равновесие Парето, функция плотности населения, функционал, линейная регрессия

DOI:

10.7256/2585-7797.2018.4.28287

Дата направления в редакцию:

06-12-2018


Дата рецензирования:

07-12-2018


Дата публикации:

07-01-2019


Abstract.

Mathematical modeling is increasingly popular to study spatial distribution of population. This trend is determined by the necessity to study the dynamics of population quantity and density, reconstruct lacking data, search for population displacement factors and evaluate their influence on this process. The current study develops the model describing the system of centers distribution (the settlement structure) of the one-level hierarchy. Such a modeling aims at searching for basic factors and evaluating their influence on the process, associating optimum parameters which characterize the system of centers distribution. The model developed by the author is based on the innovative approach of S.M. Gusein-Zade which makes it possible to describe the regularities in the location (distribution) of heterogeneous settlements and other centers on the territories. The variations calculus methods applied as well as the concept of Pareto optimality allows one to find parameters of the existing systems of centers location and quantitatively describe the phenomena occurring in them. The model has been tested to study a medieval rural settlement and has proven adequate and correct.
It has been demonstrated that the process of free population displacement was caused by two counterbalancing factors: a centripetal one (concentration of settlements around their centers) and a centrifugal one (displacement of population near the farmland).

Keywords:

Pareto equilibrium, calculus of variations, human settlement system, scribe book, central location theory, Poisson distribution, Mathematical modelling, population density function, functional, linear regression

Введение.

Математическое моделирование находит все большее применение при изучении пространственного размещения населения. Цели подобного моделирования могут состоять в исследовании динамики численности и плотности населения, реконструкции недостающих данных, выявлении факторов, обуславливающих тот или иной характер расселения и оценки их влияния на этот процесс. Исследователи подходят к изучению процесса пространственного размещения как развитию во времени целостной системы, обладающей устойчивостью, самоорганизацией, динамизмом, внутренней логикой. В этой связи интерес представляют классические модели типа теории центральных мест В. Кристаллера [1, С.140-149], вероятностные модели [2-4], наиболее популярные у исследователей и обсуждаемые в первом разделе настоящей работы.

Несмотря на фундаментальные различия в подходах, обе эти модели исходят из тезиса о равномерности размещения населения на исследуемой территории, что подразумевает ее однородность. Разработанный С.М. Гусейн-Заде вариационный подход к моделированию размещения центров (поселений разного уровня иерархии) направлен на совершенствование имеющихся моделей и связан с максимально возможным применением принципов оптимального управления [5]. Основные положения этого подхода обсуждаются во втором разделе статье. В том же разделе рассматривается одна модель одноуровневой иерархии размещения центров, являющаяся развитием вышеописанного подхода. Весь необходимый математический аппарат приводится в Приложении, с которым желающие могут ознакомиться.

Наконец, в третьем разделе приводятся результаты верификации предложенной модели на примере конкретной системы средневекового расселения (конец XV века).

Оптимизационные и вероятностные модели

Оптимизационные модели

В основе использования оптимизационного подхода лежит идея поиска наилучших с точки зрения общества вариантов развития систем и механизмов их реализации. Примером применения такого подхода в изучении систем расселения может служить модель Кристаллера, описывающая размещение третичного сектора экономики (торговли и сферы услуг) [1, C.140-149].

Кристаллер представляет поселения как центральные места (центры), предоставляющие услуги в своей зоне сбыта. За основу своей модели Кристаллер берет мельчайшие ячейки расселения, которые распределяются по всей территории равномерно и образуют треугольную сеть . Это предположение обосновывается тем, что совокупность треугольников укладываются плотнее, чем совокупность квадратов [1, C.140-141].

Рис.1 Треугольная и квадратная сеть равномерно распределенных точек на плоскости

Далее, чисто логическим путем Кристаллер показывает, что при равномерном распределении поселений зоны сбыта правильной шестиугольной формы обеспечивают минимальное среднее расстояние для поездок покупателей в центр (более детализированное обоснование положений теории Кристаллера дается А. Лëшем исходя из положений микроэкономики спроса ([1, c.143])).

Наличие разного уровня услуг и товаров предполагает иерархию центральных мест (центров). Зона сбыта любого центра обслуживается в части одних товаров самим центром, а в части других – более крупными центрами по соседству.

Наряду с треугольной структурой Кристаллер также полагает, что у каждого центра в непосредственном подчинении находится одно и то же количество ( k =7) центров на уровень ниже.

Пример 1. Пусть иерархия центров включает три уровня: деревня – поселок – город и k =7 . Тогда в зону сбыта каждой деревни входит 7 поселений (включая саму деревню), в зону сбыта каждого поселка 49 поселений, а города – 343 поселения.

Таким образом, сеть центральных мест покрывает всю заселенную территорию и представляет собой совокупность смежных правильных шестиугольников. Центры каждого шестиугольника являются вершинами шестиугольной решетки более высокой уровня, а ее центры – вершинами решетки еще более высокой иерархии и так до высшей иерархии с единственным центром:

Рис.2 Зоны сбыта по Кристаллеру

В научной литературе модели Кристаллера придается важное значение, хотя многие ее исходные положения являются дискуссионными. Так, эта модель описывает размещение центров в условиях полной однородности территории. Хотя понятно, что подобную однородность можно гарантировать лишь в масштабах, существенно превышающих средние расстояния между центрами. Положение о постоянстве числа низших центров в подчинении у высшего также находится в противоречии с действительностью. Как правило, плотность низших центров, наоборот, повышается вблизи высшего.

Вероятностные модели

Вероятностный подход используется там, где предполагается большой элемент случайности. Пример такого подхода демонстрирует Э. Чедвик при анализе поселенческой структуры Мессении (исторический регион Греции, площадь 3800 кв.км) эпохи бронзы [3]. Методика моделирования включала покрытие исследуемого региона случайным образом площадок размером 2X2 км (1109 квадратов) и подсчет числа археологических поселений, попавших на каждую площадку. Получившиеся частоты сравнивались с теоретическими (пуассоновское, отрицательное биномиальное и др. распределения). Для оценки влияния масштаба аналогичная процедура повторялась для площадок размером 4X4 и 6X6 км. Полученные Чедвиком результаты приведены в следующей таблице:

Таблица 1

Р аспределение числа поселений Мессении эпохи бронзы

Число поселений на площадке

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2X2 км, 1250 г. до н.э.

N=1109 1600 г. до н.э.

958

135

14

2

-

-

-

-

-

-

1019

87

2

1

-

-

-

-

-

-

4X4 км, 1250 г. до н.э.

N=309 1600 г. до н.э.

195

74

31

6

1

1

1

-

-

-

233

61

13

1

1

-

-

-

-

-

6X6 км, 1250 г. до н.э.

N=152 1600 г. до н.э.

70

40

22

11

2

2

3

1

-

1

95

33

14

8

1

1

-

-

-

-

Пуассоновская модель исходит из предположения о том, что поселения в пределах изучаемой однородной площадки появляются независимо друг от друга и вероятность их появления зависит лишь от ее размера. Эта ситуация описывается пуассоновским распределением, связываемым с вероятностью редких событий [7].

Проверка соответствия эмпирических данных теоретическим производилась с помощью критерия хи-квадрат и критерия Колмогорова-Смирнова. Для минимизации ошибки первого рода (вероятности отклонения верной гипотезы) был взят уровень значимости 0,01.

Проверка гипотезы о пуассоновском характере распределения частот поселений исследуемого региона показала, что пуассоновское распределение соответствует эмпирическим данным для площадок малых размеров, но не подтверждается для площадок больших размеров.

В схожем методологическом ключе выдержана недавняя статья О.Н. Трапезниковой и А.А. Фролова [4]. В качестве объекта исследования авторы рассматривают систему сельского расселения двух территорий Деревской пятины Новгородской земли, отраженную в писцовых книгах письма 1495-1496 гг.

Обе территории (Городенский погост и микрорегион Березайского погоста) располагаются в пределах Восточно-Валдайской возвышенности. Причем Городенский погост в плане ландшафта распадается на две части: возвышенную и пониженную с двумя основными реками. По площади первая территория составляет 604 кв.км, а вторая – 104 кв.км. По данным писцовых книг население обеих территорий проживало в малодворных деревнях (1-2 двора), за исключением главного поселения Березайского микрорегиона (95 дворов).

Главной методической проблемой, по мнению авторов, является невозможность точного определения местонахождения большинства поселений (из 381 приводимых в писцовых книгах поселений Городенского погоста удается локализовать лишь 191 поселение). С учетом этого авторы предпринимают вероятностное моделирование, принимая пуассоновскую гипотезу расселения (появления новых и исчезновения старых поселений).

Рис.3 Картосхема Городенского погоста

1- поселения возвышенной части, 2-поселения пониженной части, 3-поселения по схеме Генерального межевания в границах бывшего Городенского погоста, 4-реки, 5-границы частей погоста, 5-озера

Источник: [4, с.48])

Моделирование включало в себя серию испытаний, каждое из которых состояло в “набрасывании” случайным образом на изучаемой территории площадок малого размера (100 бросаний) и подсчета числа попавших в них селений. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому осуществлялась с помощью критерия хи-квадрат, результаты которой приведены в следующей таблице:

Таблица 2

Результаты проверки распределения поселений конца XV века на соответствие распределению Пуассона(источник - [4, c.56])

Участок

Радиус пробной площадки, м

Среднее число поселений на площадку

Значение критерия хи-квадрат

Число степеней свободы

Значение критерия хи-квадрат на уровне значимости 0,95 (0,99) (выделены те значения, которые согласуются с гипотезой на уровне значимости 0,95 и/или 0,99)

Городенский погост в целом

1000 1500 2000 3000

1,17 2,84 4,92 11,23

12,12 21,65 58,42 67,54

2 5 6 3

5,99 (9,21) 11,1 (15,1) 12,6 (16,8) 7,81 (11,3)

Городенский погост – возвышенная часть

1000 1125 1700 2250

0,77 1,06 2,57 4,91

4,19 9,56 13,3 18,45

1 2 4 6

3,84 (6,63) 5,99 (9,21) 9,49 (13,3) 12,6 (16,8)

Городенский погост – пониженная часть

800 1000 1320 1500

0,44 0,91 1,39 1,74

5,45 2,78 5,32 14,06

1 2 3 3

3,84 (6,63) 5,99 (9,21) 7,81 (11,3) 7,81 (11,3)

Березайский микрорегион

1500 2000 3000

0,761,56 2,95

0,17 1,44 12,71

1 3 5

3,84 (6,63) 7,81 (11,3) 11,1 (15,1)

Городенский погост – ГМ (данные Генерального межевания)

2000 3000

0,952,76

0,44 5,29

2 5

5,99 (9,21) 11,1 (15,1)

Как следует из таб.2, гипотеза о пуассоновском распределении в целом не подтверждается для системы расселения Городенского погоста конца XV в. Этот факт авторы объясняют природной неоднородностью территории, наличия в ней повышенной и пониженной частей с различной структурой расселения. Действительно, если брать по отдельности обе части Городенского погоста, то на них пуассоновское распределение подтвердилось для площадок малых размеров. Важным результатом также авторы считают соответствие пуассоновскому распределению системы расселения Березайского микрорегиона и территории бывшего Городенского погоста в XVIII в. Полученные результаты приводят авторов к выводу о том, что структура расселения Валдайской возвышенности формировалась стихийно и с учетом природных особенностей территорий.

На наш взгляд, вывод авторов о пуассоновском, в целом, характере системы расселения Валдайской возвышенности нуждается в существенной корректировке. Как следует из таб.2, пуассоновское распределение для площадок большого размера (радиуса 2250 м. для возвышенной части и радиуса 1500 м. для пониженной) не подтверждается. Аналогичный факт, как мы видели, отмечался Чедвиком при анализе поселенческой структуры Мессении. Таким образом, пуассоновская гипотеза “работает” при анализе небольших поселенческих структур с однородными природными условиями. При переходе к анализу структур более высокого порядка (например, погоста или пятины) приходится руководствоваться иными моделями.

Модель размещения системы центров одноуровневой иерархии

Для совершенствования имеющихся моделей, С.М. Гусейн-Заде был разработан подход, связанный с максимально возможным применением принципов оптимального управления [5]. Применение этих принципов предполагает наличие некоторого критерия F , в направлении минимизации (или максимизации) которого будет развиваться система. В нашем случае, как уже указывалось, таких критериев, или тенденций развития системы две. И обе тенденции существенны для модели. При отсутствии одной все население сконцентрировалось бы в одном поселении, являющимся центральным. А при отсутствии другой – все население распределилось бы равномерно по всей изучаемой территории, чего также нет в реальности (см., например, в качестве иллюстрации рис.3).

Для решения этой проблемы Гусейн-Заде использует концепцию оптимума Парето, заимствованную из области математической экономики. Эта концепция описывает ситуацию равновесия , при которой каждому из игроков не выгодно уклоняться от своей стратегии. В противном случае это может привести к ухудшению положения (уменьшению функции прибыли) других игроков, и, как следствие, изменение уже их стратегий [8]. В нашем случае роль таких игроков играют вышеназванные тенденции, характеризующиеся функционалами. Под функционалом в вариационном исчислении понимается переменная величина, значения которой определяются выбором одной или нескольких функций [9]. Это можно изобразить в виде формулы: F =F [y ( x ) ], где функция y ( x ) является аргументом функционала F . Роль такого аргумента в модели играет функция плотности населения p ( x ) , заданная в каждой точке двумерной области D . Использование оптимума Парето позволяет выразить оптимальные соотношения параметров системы в количественном виде.

Показателем центростремительной тенденции является суммарное расстояние от населенных пунктов до ближайшего центра по всей территории. Чем меньше значение этого показателя, тем сильнее выражена центростремительная тенденция. Разобьем всю рассматриваемую область на совокупность малых площадок (элементов) dS , внутри которых будем считать плотность постоянной. Тогда нетрудно подсчитать, что численность населения этом элементе задается формулой p ( x ) dS . Далее, обозначим через r ( x ) расстояние от точки х до ближайшего центра. Тогда суммарное расстояние от всех точек элемента dS до ближайшего центра составит r ( x ) p ( x ) dS , а искомый функционал запишется в виде интеграла по всей области D :

Показателем противоположной, центробежной тенденции в настоящей работе предлагается использовать суммарное расстояние от населенного пункта до пределов контролируемой им территории (зоны влияния). Чем меньше расстояние до нее, тем выгоднее это для землепользования. Руководствуясь подобными соображениями, жители (земледельцы) стараются расселиться как можно равномернее по всей территории.

Зона влияния населенного пункта, расположенного в точке x на D также может быть выражена через функцию плотности p ( x ). Так, площадь σ( x ) этой зоны является величиной, обратной плотности: σ( x )=1/ p ( x). Ее радиус R ( x ) определяется из формулы для площади круга:

Здесь мы предполагаем, что зоны влияния населенных пунктов близки к круговой форме. Таким образом, второй функционал также представляется в виде интеграла по всей области D :

Итак, варьируя в качестве аргумента функцию плотности p ( x ) , мы получаем те или иные значения обоих функционалов. Среди всех возможных вариантов интерес представляет лишь функции, реализующие оптимум Парето. Опуская математический аппарат (желающие могут посмотреть все выкладки в Приложении), получаем отсюда оптимальное соотношение, связывающее функцию плотности и функцию расстояния до ближайшего центра:

Полученное соотношение позволяет сделать ряд важных выводов относительно оптимальных параметров модели.

Во-первых, чем больше значение функции r ( x ) в точке x области D , тем меньше значение p ( x ). Другими словами, при удалении от центра плотность населения падает.

На логарифмической шкале эта обратная зависимость оказывается линейной:

ln p ( x ) = μ - 2/3 ln r ( x ), где μ – некоторая постоянная.

Если перейти от плотности населения и расстояния до ближайшего центра к численности населения и площади зоны влияния центра, то зависимость также остается степенной:

Таким образом, чем больше площадь S зоны влияния центра, тем больше в ней численность N населения. Интересно, что зависимость между средней плотностью населения зоны влияния и площадью этой зоны обратная:

То есть, чем больше средняя плотность населения зоны влияния, тем меньше ее площадь. Если вместо этих величин рассматривать их логарифмы, то зависимости между ними превращаются в линейные с соответствующими коэффициентами:

ln N = A +2/3 ln S, ln p = A – 1/3 ln S.

Более подробное рассмотрение математических аспектов предложенной модели дается в Приложении.

Численные эксперименты

Апробацию предложенной модели проведем на примере системы расселения территории Деревской пятины Новгородской земли конца XV века, реконструированной А.А. Фроловым и Н.В. Пиотух на основе писцовых книг письма 1495-1496 гг. Результаты своей реконструкции авторы приводят в Историческом атласе Деревской пятины Новгородской земли [6] (в дальнейшем – Атласе), который будет использоваться нами в качестве непосредственного источника.

Новгородские пятины состояли из территориальных округов (погостов), слабо связанных друг с другом. Население погоста проживало в малодворных поселениях (согласно Атласу, Деревская пятина с общей площадью около 32 тыс. кв. км в конце XV века включала 69 округов, в которых располагалось 9889 поселений с 22187 дворами; таким образом, на деревню в среднем приходилось 2-3 двора), а его центральное поселение совмещало функции административно-территориального и административно-финансового (фискального) центра.

Отметим, что с этими данными работал выдающийся математик, академик А.Н. Колмогоров в рамках его исследований по новгородскому землевладению XV века на семинаре С.В. Бахрушина. Как удалось установить Колмогорову, размер двора на тот период времени был примерно одинаков и составлял 5-6 человек [10].

Вывод Колмогорова о постоянстве размера двора имеет очень важное значение, поскольку позволяет заменить в качестве параметра модели функцию плотности населения на функцию плотности дворов. С учетом этого система размещения центров представляется в виде следующего иерархического ряда: деревня (совокупность дворов) – центральное поселение погоста. Соответственно, две тенденции, формирующие эту систему (см. Раздел 2), получают следующую интерпретацию: центростремительная тенденция заставляет людей располагать свои дворы (поселения) как можно ближе к центральному поселению погоста, а центробежная – как можно ближе к обрабатываемой ими площади.

Напомним, что одним из теоретических результатов предложенной модели является линейная зависимость между логарифмом от числа дворов и логарифмом от площади погоста (зоны влияния центра) с коэффициентом 2/3. Проверка соответствия этого теоретического результата эмпирическим данным из Атласа (Приложение 1) проводилась с помощью пакета статистических программ Statistica:

Рис.4 Диаграмма рассеяния для логарифма от числа дворов (Var2) и логарифма от площади погоста (Var1)

Рис.5 Матрица корреляции для логарифма от числа дворов (Var2) и логарифма от площади погоста (Var1)

Как следует из рис.4 и рис.5, гипотеза о линейной зависимости между признаками Var2 и Var 1 подтверждается с уровнем значимости 95%. Коэффициент линейной регрессии между ними составляет 0,7308, что отличается от теоретического (2/3) на величину 0,064. Коэффициент корреляции между ними равен 0,85. То есть изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого примерно на 72% (коэффициент детерминации).

Отметим, что если заменить логарифмическую шкалу на обычную, то гипотеза о линейной зависимости не подтверждается:

Рис.6 Диаграмма рассеяния для числа дворов (Var2) и площадью погоста (Var1)

Рис.7 Матрица корреляции для числа дворов (Var2) и площадью погоста (Var1)

Заключение

Настоящая статья посвящена моделированию системы пространственного размещения населения в историческую эпоху. Обзор некоторых популярных подходов (модель Кристаллера, вероятностный подход) показал необходимость учета неоднородности при моделировании. Предложенный С.М. Гусейн-Заде подход лишен этого недостатка и тем самым открывает новые перспективы в плане моделирования систем расселения. Этот подход опирается на оптимизационный принцип, что позволяет выявлять и численно описывать соотношения между оптимальными параметрами системы. В частности, в настоящей статье была предложена модель одноуровневой иерархии центров (центральных поселений). Развитие всей системы происходит в логике уравновешивания двух главный тенденций: центростремительной и центробежной. Другими словами, система обладает самоорганизацией, направляя неявно устремления ее отдельных компонентов к достижению общей цели (равновесия).

Предложенная модель апробировалась на конкретном историческом материале (система сельского расселения Деревской пятины Новгородской земли на конец XV века). Полученный результаты с высокой долей вероятности (коэффициент детерминации составил около 72%) подтвердили адекватность и корректность модели. Оказывается, что сложившаяся к тому моменту система центров явилась результатом свободного, никем не сдерживаемого процесса расселения. При этом были выявлены два основных фактора расселения: центростремительный и центробежный. Первый фактор отражает концентрацию населения вблизи своего центра (погоста) и может быть объяснен соображениями безопасности, логистическими, а также религиозными (учитывая, что центральное поселение погоста в то же время являлось средоточием отправления церковного культа) причинами. Второй фактор обусловлен необходимостью быстрого и беспрепятственного доступа населения (земледельцев) к обрабатываемым ими участкам земли, и в этом он коррелирует с представлениями о равномерности расселения в модели Кристаллера и вероятностного подхода. В то же время необходимо отметить, что сложившаяся картина исторического расселения явилась результатом сочетания (или равновесия) обоих факторов.

В качестве методологической задачи представляет интерес изучение системы размещения центров в динамике (обзор имеющихся подходов динамического анализа эволюции поселений см в [11]). Изменение на каком-либо временном срезе оптимальных параметров системы, тем более смена модели ее развития, могло бы свидетельствовать о кардинальном сдвиге в социально-экономическом и социально-политическом устройстве изучаемой территории.

Приложение 1

Элементывариационногоисчисленияитеорииоптимизации

Определение 1. Приращением (вариацией) δ y аргумента y ( x ) функционала F называется разность между функциями y 1( x )- y ( x ):

Рис.1 Вариация аргумента функционала

Приращению δ y аргумента соответствует приращение функционала.

Определение 2. Главная (линейная) часть приращения функционала F называется вариацией δ F функционала: F [y 1( x ) ] = F [y ( x ) ] + δ F + o (δ y ), где o (δ y )–величина, бесконечно малая относительно δ y .

Пример 1.

Функционалом является длина l кривой, которая соединяет две заданные точки A и B двумерной плоскости и задается функцией y ( x ) :

Рис.2 График кривой, соединяющей две заданные точки

Понятно, что минимальное значение (экстремум) этот функционал достигает при выборе в качестве аргумента функцию y ( x ) , задающую отрезок с концами в точках A и B .

Утверждение 1. Необходимым условием экстремума является равенство нулю вариации функционала (условие стационарности):

δ F = 0 .

Полным аналогом этого утверждения в теории максимума и минимума функций является равенство нулю производной.

Другими словами, оптимум Парето является неулучшаемой стратегией. Любое ее изменение приводит к ухудшению (увеличению) хотя бы одной целевой функции.

Таким образом, оптимум Парето является решением следующей задачи оптимизации:

Обратимся теперь к модели одноуровневой иерархии центров из Раздела 2. Эта модель характеризуется двумя функционалами:

Исходя из вариационного принципа (см. Утверждение 1), оптимум достигается при таком выборе функции p(x) , при котором вариация функционала равняется нулю:

Последнее соотношение должно быть справедливо при любых вариациях δ p ( x ) . С учетом этого, получаем следующее соотношение между p ( x ) и r ( x ) :

То, что при таком выборе p(x) действительно реализуется минимум, следует из положительности второй вариации функционала:

Получим теперь соотношение, связывающее численность N населения зоны влияния центра и ее площадь S . Численность населения определяется из функции плотности p ( x ) по формуле:

Если предположить, что форма зоны влияния центра близка к кругу, то в последней формуле интегрирование по площади можно приближенно заменить на интегрирование в полярных координатах. Учитывая далее формулу (1), имеем:

.

Приложение 2

Территориальные округа (погосты и волости) Деревской пятины. Общие характеристики (источник – [6, с.58-59])

n

Территориаль-ный округ

Занимаемая площадь (кв.км) (за вычетом площадей крупных озер (Селигер, Шлино, Велье и др.))

Всего пунктов

Всего дворов

Ln (натураль-ный логарифм) от занимаемой площади

Ln от числа дворов

1

Бельский

212

78

215

5,356586

5,370638

2

Березайский на Березае

303

141

304

5,713733

5,717028

3

Березовец (цветом выделены волости)

407

90

423

6,008813

6,047372

4

Боженский

240

35

124

5,480639

4,820282

5

Бологовский

534

204

471

6,280396

6,154858

6

Борковский

347

68

270

5,849325

5,598422

7

Боровицкий

258

118

402

5,55296

5,996452

8

Бронницкий

28

17

77

3,332205

4,343805

9

Буец

239

122

196

5,476464

5,278115

10

Буховский

654

101

368

6,483107

5,908083

11

Велико-порожский

137

103

163

4,919981

5,09375

12

Велила

960

241

459

6,866933

6,12905

13

Вельевский

519

202

570

6,251904

6,345636

14

Влажинский

728

212

448

6,590301

6,104793

15

Городенский

609

485

741

6,411818

6,608001

16

Деманский

978

457

1024

6,88551

6,931472

17

Дмитриевский Кострицкий

36

15

31

3,583519

3,433987

18

Еглинский

214

225

361

5,365976

5,888878

19

Жабенский

1950

318

1009

7,575585

6,916715

20

Заборовский

557

254

474

6,322565

6,161207

21

Коломенский

725

188

487

6,586172

6,188264

22

Короцкий

93

74

106

4,532599

4,663439

23

Кременичский

43

15

43

3,7612

3,7612

24

Крестецкий

185

40

87

5,220356

4,465908

25

Курский

971

102

190

6,878326

5,247024

26

Листовский

715

49

133

6,572283

4,890349

27

Локотский

619

436

827

6,428105

6,717805

28

Лопастицы

282

95

204

5,641907

5,31812

29

Михайлов-ский

671

487

724

6,508769

6,584791

30

Млевский

245

129

237

5,501258

5,46806

31

Молвятицкий

724

266

880

6,584791

6,779922

32

Морева

536

175

526

6,284134

6,265301

33

Морозо- вичский

91

26

56

4,51086

4,025352

34

Наволоцкий

232

102

195

5,446737

5,273

35

Налесский

114

64

175

4,736198

5,164786

36

Налючский

656

149

419

6,486161

6,037871

37

Неретцкий

80

85

134

4,382027

4,89784

38

Никольский в Шереховичах

15

9

33

2,70805

3,496508

39

Оксочский

468

144

331

6,148468

5,802118

40

Островский

242

81

169

5,488938

5,129899

41

Петровский

7

4

7

1,94591

1,94591

42

Пиросский

436

305

843

6,077642

6,736967

43

Полищский

457

169

303

6,124683

5,713733

44

Полоновский

701

172

338

6,552508

5,823046

45

Понедельский

61

30

52

4,110874

3,951244

46

Посонский

1138

148

330

7,037028

5,799093

47

Рамышевский

107

25

47

4,672829

3,850148

48

Ручьевский

433

182

401

6,070738

5,993961

49

Рютинский

234

166

338

5,455321

5,823046

50

Сеглинский

404

202

491

6,001415

6,196444

51

Семеновский в Вудрицах

1070

193

625

6,975414

6,437752

52

Ситенский

450

244

404

6,109248

6,001415

53

Стерж

410

53

245

6,016157

5,501258

54

Сытинский

198

118

254

5,288267

5,537334

55

Теребу-новский

109

35

109

4,691348

4,691348

56

Туренский

206

127

247

5,327876

5,509388

57

Тюхолский

239

68

165

5,476464

5,105945

58

Ужинский

210

180

265

5,347108

5,57973

59

Усть-Воломский

207

67

138

5,332719

4,927254

60

Устьянский

82

34

107

4,406719

4,672829

61

Холмский

4486

273

538

8,408717

6,287859

62

Холовский

446

43

114

6,100319

4,736198

63

Холынский

61

30

60

4,110874

4,094345

64

Черенчицкий

177

41

219

5,17615

5,389072

65

Черньче-вичский

518

57

148

6,249975

4,997212

66

Шегринский

506

378

634

6,226537

6,452049

67

Яжелбицкий

233

156

307

5,451038

5,726848

68

Язвищский

367

77

168

5,905362

5,123964

69

Ясеновичский

294

110

204

5,68358

5,31812

70

погост не определен

-

1

1

Всего

31864

9889

22187

Приложение 3

Территория Деревской пятины по писцовым книгам письма 1495-1496 гг. (источник – [6, с.17])

Цифрами обозначены погосты: 1-Холынский, 2-Боженский, 3-Бронницкий, 4-Наволоцкий, 5-Понедельский, 6-Тюхолский, 7-Сытинский, 8-Лажинский, 9-Морозовский, 10-Холовский, 11-Листовский, 12-Крестецкий, 13-УстьВоломский, 14-Островский, 15-Черенчевичский, 16-Теребуновский, 17-Оксоцкий,18-Кременичский, 19-Бельский, 20-Никольский в Шереховичах, 21-Язвищский, 22-Полищский, 23-Шегринский, 24-Дмитриевский Кострицкий, 25-Ситенский, 26-Локоцкий, 27-Ручьевский, 28-Семеновский, 29-Налеский, 30-Яжелбицкий, 31-Еглинский, 32-Неретцкий, 33-Ужинский, 34-Туренский, 35-Пиросский, 36-Боровицкий, 37-Великопорожский, 38-Рютинский, 39-Сеглинский, 40-Млевский, 41-Коломенский, 42-Бологовский, 43-Березайский на Березе, 44-Михайловский, 45-Короцкий, 46-Городенский, 47-Вельевский, 48-Жабенский, 49-Посонский, 50-Заборовский, 51-Ясеновичский, 52-Полоновский, 54-Молвятицкий, 55-Деманский, 56-Буховский, 61-Курский, 62-Черенчицкий, 63-Налючский, 64-Борковский, 65-Устьянский, 66-Рамышевский, 67-Петровский, 68-Холмский; волости: 53-Стерж, 57-Морева, 58-Велила, 59-Лопастицы, 60-Буец, 69-Березовец.

Библиография
1.
Бунге В./ ред. В.М. Гохман. Теоретическая география. М., 1967. 281 С.;
2.
Доорн П. Географическое положение, модели взаимодействия и реконструкция исторических поселений и коммуникаций (на примере Этолии, исторической области Центральной Греции)// История и компьютер: новые информационные технологии в исторических исследованиях и образовании/ред. Л.И. Бородкин, В.Леверманн. St.Katharen,1993. С.105-139;
3.
Chadwick A.J. A computer simulation of Mycenean settlement// Simulation studies in archaeology/ ed.by I.Hodder. Cambridge, 1978. PP.47-97;
4.
Трапезникова О.Н., Фролов А.А. Математическое моделирование и геоэкологическая оценка сельского расселения Валдайской возвышенности и его трансформации на рубеже средневековья и Нового времени// Известия Российского географического общества. СПб., 2017. Т.149. вып.4. C. 46-61;
5.
Гусейн-Заде С.М. Модели размещения населения и населенных пунктов: дисс... док.физ.-мат. наук: 01.01.09/ Гусейн-Заде Сабир Меджидович. М., 1990. 218 C.;
6.
Фролов А.А., Пиотух Н.В. Исторический атлас Деревской пятины Новгородской земли. М.-СПб., 2008. Том 1. 370 C.;
7.
Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. М., 2007. Том 1. C.78-79;
8.
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М., 1984. 296 С.;
9.
Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М., 2008. 208 C.;
10.
Колмогоров А.Н., Бассалыго Л.А. Новгородское землевладение XV века. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины. М., 1994. 128 С.;
11.
Мазур Л.Н., Бродская Л.И. Эволюция сельских поселений Среднего Урала в XX веке. Опыт динамического анализа. Екатеринбург, 2006. 564 C.
References (transliterated)
1.
Bunge V./ red. V.M. Gokhman. Teoreticheskaya geografiya. M., 1967. 281 S.;
2.
Doorn P. Geograficheskoe polozhenie, modeli vzaimodeistviya i rekonstruktsiya istoricheskikh poselenii i kommunikatsii (na primere Etolii, istoricheskoi oblasti Tsentral'noi Gretsii)// Istoriya i komp'yuter: novye informatsionnye tekhnologii v istoricheskikh issledovaniyakh i obrazovanii/red. L.I. Borodkin, V.Levermann. St.Katharen,1993. S.105-139;
3.
Chadwick A.J. A computer simulation of Mycenean settlement// Simulation studies in archaeology/ ed.by I.Hodder. Cambridge, 1978. PP.47-97;
4.
Trapeznikova O.N., Frolov A.A. Matematicheskoe modelirovanie i geoekologicheskaya otsenka sel'skogo rasseleniya Valdaiskoi vozvyshennosti i ego transformatsii na rubezhe srednevekov'ya i Novogo vremeni// Izvestiya Rossiiskogo geograficheskogo obshchestva. SPb., 2017. T.149. vyp.4. C. 46-61;
5.
Gusein-Zade S.M. Modeli razmeshcheniya naseleniya i naselennykh punktov: diss... dok.fiz.-mat. nauk: 01.01.09/ Gusein-Zade Sabir Medzhidovich. M., 1990. 218 C.;
6.
Frolov A.A., Piotukh N.V. Istoricheskii atlas Derevskoi pyatiny Novgorodskoi zemli. M.-SPb., 2008. Tom 1. 370 C.;
7.
Kel'bert M.Ya., Sukhov Yu.M. Osnovnye ponyatiya teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistiki. M., 2007. Tom 1. C.78-79;
8.
Ashmanov S.A. Vvedenie v matematicheskuyu ekonomiku. M., 1984. 296 S.;
9.
El'sgol'ts L.E. Variatsionnoe ischislenie. M., 2008. 208 C.;
10.
Kolmogorov A.N., Bassalygo L.A. Novgorodskoe zemlevladenie XV veka. Kommentarii k pistsovym knigam Shelonskoi pyatiny. M., 1994. 128 S.;
11.
Mazur L.N., Brodskaya L.I. Evolyutsiya sel'skikh poselenii Srednego Urala v XX veke. Opyt dinamicheskogo analiza. Ekaterinburg, 2006. 564 C.
Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи


Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.
Сайт исторического журнала "History Illustrated"