по
Меню журнала
> Архив номеров > Рубрики > О журнале > Авторы > Требования к статьям > Порядок рецензирования статей > Ретракция статей > Этические принципы > Правовая информация > Редакционный совет > Редакция > Аннотация журнала
Журналы индексируются
Реквизиты журнала
В погоне за двумя зайцами поймай обоих сразу!
34 журнала издательства NOTA BENE входят одновременно и в ERIH PLUS, и в перечень изданий ВАК
При необходимости автору может быть предоставлена услуга срочной или сверхсрочной публикации!
ГЛАВНАЯ > Вернуться к содержанию
Моделирование температурного режима грунтовых оснований с сезонноохлаждающими устройствами в условиях криолитозоны Республики Саха (Якутия)
Ефимов Василий Моисеевич

заместитель директора, Институт физико-технических проблем Севера им. В.П. Ларионова СО РАН, г. Якутск

677000, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Якутск, ул. Октябрьская, 1, каб. 101

Efimov Vasilii Moiseevich

Deputy Director, Institute of Physical-Technical Problems of the North, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

677000, Russia, the Sakha Republic (Yakutiya), Yakutsk, Oktyabrskaya Street 1, office #101

bmr2008@list.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Васильчук Юрий Кириллович

доктор геолого-минералогических наук

профессор, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (МГУ)

119991, Россия, г. Москва, ул. Ленинские Горы, 1, оф. 2009

Vasil'chuk Yurii Kirillovich

Doctor of Geology and Mineralogy

Professor, M. V. Lomonosov Moscow State University

119991, Russia, Moscow, Leninskie Gory Street 1, office #2009

vasilch_geo@mail.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Рожин Игорь Иванович

доктор технических наук

в.н.с., Институт проблем нефти и газа СО РАН

677980, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Якутск, ул. Октябрьская, 1

Rozhin Igor Ivanovich

Doctor of Technical Science

Leading Scientific Associate, Institute of Oil and Gas Problems of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

677980, Russia, the Sakha Republic (Yakutiya), Yakutsk, Oktyabrskaya Street 1

i_rozhin@mail.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Попенко Федор Елисеевич

кандидат геолого-минералогических наук

директор, Научно-внедренческий центр "Геотехнология"

677000, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Якутск, ул. Вилюйский Тракт 5, 1/1

Popenko Fedor Eliseevich

PhD in Geology and Mineralogy

Director, the department of Scientific Implementing Center “Geotechnology”

677000, Russia, the Sakha Republic (Yakutiya), Yakutsk, Vilyuiskii Trakt 5, 1/1

geotechnologia@mail.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Степанов Анатолий Викторович

доктор технических наук

г.н.с., Институт физико-технических проблем Севера СО РАН

677677980, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Якутск, ул. Октябрьская, 1

Stepanov Anatolii Viktorovich

Doctor of Technical Science

Chief Scientific Associate, Institute of Physical-Technical Problems of the North, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

677980, Russia, the Sakha Republic (Yakutiya), Yakutsk, Oktyabrskaya Street 1

a.v.stepanov@iptpn.ysn.ru
Другие публикации этого автора
 

 
Аннотация. В представляемой статье рассмотрена задача численного моделирования процесса оттаивания-промерзания массива грунтов для проектирования системы термостабилизации грунтов основания здания в условиях криолитозоны Республики Саха (Якутия). Цель работы заключается в изучении процесса формирования температурного поля массива грунтов под действием сезоннодействующих устройств. Исследуется процесс образования ледопородной завесы вследствие теплообмена грунта со сезоннодействующими охлаждающими устройствами (СОУ) и наружным холодным воздухом при уборке снежного покрова с площадки строительства. Методом исследования является вычислительный эксперимент на основе общей задачи Стефана, решаемой посредством разностной схемы сквозного счета Основными выводами проведенного исследования являются необходимостьразработки математических моделей, учитывающие массообменные процессы в зоне влияния сезоннодействующих охлаждающих установок с учетом условий формирования криогенных текстур в ходе принудительного промораживания грунтов. Также необходимо математически описать явления конденсации и испарения хладона, происходящие внутри сезонноохлаждающего устройства.Важным в практическом плане также является определение расчетных температур и сроков их формирования, необходимых для принятия решений по загрузке фундаментов.
Ключевые слова: криолитозона, грунты, термостабилизаторы, математическая модель, Задача Стефана, теплообмен, температурное поле, промерзание - протаивание, сооружения, мерзлота
DOI: 10.7256/2453-8922.2017.4.25036
Дата направления в редакцию: 19-12-2017

Дата рецензирования: 19-12-2017

Дата публикации: 10-01-2018

Abstract. This article examines the issue of numerical modeling of the soil freezing-thaw process for projection of thermal stabilization system of soil building foundations in the cryolithozone of the Sakha Republic (Yakutia). The goal of this work consists in studying the process of formation of the temperature field of the massif of the soils under the effect of thermal stabilizers. Research is conducted on the process of formation of ice wall as the result of thermal exchange of the soil with the thermal stabilizers and external cool air during clearing of the snow cover from the construction site. The main conclusions of the conducted research include the need for development of mathematical models that would account for the mass exchange processes in the zones of effect of the thermal stabilizers with consideration of the conditions of formation of the cryogenic textures in the process of forced freezing of the soils. There is also a need for mathematical explanation of the phenomena of condensation and evaporation of Freon taking place inside the thermal stabilizers.

Keywords: temperature field, heat exchange, The Stefan problem, mathematical model, termal stabilizers, soils, cryolithozone, freezing - thawing, structures, permafrost

В данной работе рассмотрена задача оттаивания-промерзания массива грунтов для проектирования системы термостабилизации грунтов основания здания в условиях криолитозоны Республики Саха (Якутия). Цель работы заключается в изучении формирования температурного поля массива грунтов. Исследуется процесс образования ледопородной завесы вследствие теплообмена грунта со сезоннодействующими охлаждающими устройствами (СОУ) и наружным холодным воздухом при уборке снежного покрова со стройплощадки. Методом исследования является вычислительный эксперимент.

Рис. 1. Сезоннодействующие охлаждающие устройства на объекте

Описание метода исследования

Математическая постановка задачи промерзания-оттаивания массива грунтов в основании здания осуществлена на основе общей постановки задач типа Стефана. В математической модели были приняты следующие допущения [10]:

1. перенос тепла внутри массива грунта осуществляется только теплопроводностью, тем самым при расчете температурного поля не учитываются массообменные процессы;

2. теплофизические характеристики слоев естественного основания считаются кусочно-постоянными для талого и мерзлого состояний, учитывая их малое изменение в рассматриваемом диапазоне температур;

3. фазовый переход влаги происходит при постоянной температуре, без изменения начальной влажности и объема.

В осесимметричном случае модель задачи включает квазилинейное дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в водонасыщенном грунте с учетом фазового перехода «вода-лед», которое с учетом многослойного массива грунтов имеет вид:

(1)

Здесь – коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость k-го слоя массива, которые аппроксимируются как кусочно-постоянные (сглаженные) функции по температуре в окрестности фазового перехода; – время, и – координаты, – наружный радиус испарителя, Br – половина расстояния между соседними испарителями СОУ, Bz – общая глубина массива грунтов.

Наиболее подходящим для численного решения прикладных задач Стефана, которые в основном бывают многомерными и характеризуются наличием нескольких немонотонно движущихся фронтов фазового перехода, является метод, основанный на подходе, изложенном в монографии [11]. Для этого метода авторы работы [6] разработали экономичную разностную схему сквозного счета со сглаживанием разрывных коэффициентов в уравнении теплопроводности по температуре в окрестности фазового перехода. Схемы со сглаживанием коэффициентов предложены также в работе [1] и характеризуются тем, что граница раздела фаз явно не выделяется, что позволяет использовать однородные разностные схемы.

Для каждого k-го слоя массива грунтов в окрестности фазового перехода используются линейная l(T) и параболическая C(T) зависимости, которые приведены в работе [10].

Температурное поле в начальный момент времени задается в виде функции, зависящей только от вертикальной координаты z, и находится путем аппроксимации данных термометрии:

(2)

На дневной поверхности массива учитывается граничное условие III рода:

(3)

где li – коэффициент теплопроводности верхнего слоя массива, граничащего с воздухом, Tв– температура окружающего атмосферного воздуха, az– приведенный коэффициент конвективного теплообмена атмосферного воздуха с дневной поверхностью массива.

Слой бетонной отмостки учитывается как термическое сопротивление в приведенном коэффициенте теплообмена:

где `alpha` б, `lambda` б– толщина и коэффициент теплопроводности бетона, `alpha`б – коэффициент конвективного теплообмена атмосферного воздуха с дневной поверхностью, который меняется в зависимости от климатических условий.

На поверхностях, разделяющих слои массива, выполняются условия идеального теплового контакта, т.е. граничные условия IV рода: равенство температур и тепловых потоков непосредственно на границах между слоями.

Также принимаем следующие краевые условия:

граничное условие I рода на контакте теплообмена испарителя с массивом грунтов

(4)

условия симметрии

(5) (6)

условие радиального распространения теплоты

(7)

где H – длина испарителя, αr – приведенный коэффициент теплообмена грунта с испарителем, Tx– температура хладона в испарителе.

В работе [3] указывается, что при понижении температуры атмосферного воздуха зависимость температуры теплоносителя от нее хорошо аппроксимируется линейной функцией вида:

где j – тангенс угла наклона прямой к оси Tв или температурный коэффициент термосифона; Tг – начальная температура, от которой наблюдается указанная линейная зависимость и которая по величине близка к средней температуре грунта по всей глубине погружения термосифона в естественных условиях. Поскольку для термограммы воздуха Tx =f(Tв) характерны колебания суточные, периодические и сезонные, значит и для зависимости характерен определенный разброс точек. Несмотря на этот разброс, зависимость за весь период эффективного охлаждения удовлетворительно может быть аппроксимирована прямой линией. Характер этой зависимости определяется не только изменениями температуры атмосферного воздуха, но на него существенно влияют и конструктивные параметры термосифонов. В частности, в зависимости от соотношения площадей внутренних поверхностей функциональных частей (надземной Fв и подземной Fг) термосифонов система «воздух – теплоноситель – грунт» обладает различной инерционностью, что отражается на характере рассматриваемой функциональной зависимости. Если Fв /Fг > 0.5, то инерционность системы практически не отражается на величине температуры теплоносителя, которая почти синхронно изменяется за изменением температуры воздуха [3].

В разработанной математической модели двумерного разреза основания здания с СОУ учитываются: изменение температуры воздуха и хладона со временем; изменение коэффициента конвективного теплообмена наружного воздуха в зависимости от скорости ветра. Следовательно, для определения распределения температур в массиве грунтов основания здания необходимо совместно решить уравнения (1)–(7).

Поставленная задача решается методом конечных разностей с использованием продольно-поперечной схемы (суммарной аппроксимации) [2], при этом исходное двумерное уравнение (1) расщепляется на уравнения с весами, которые решаются методом сквозного счета со сглаженными функциями коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости. Таким образом, эффективный расчет двумерной задачи строится на основе метода расщепления по пространственным координатам с использованием схемы переменных направлений [7, 12] и с привлечением для обеспечения устойчивости получающихся одномерных задач, неявных методов на основе прогоночных алгоритмов.

Исходные данные для вычислительного эксперимента

Расчеты выполнены при исходных данных, включающих сведения о вещественном составе массива грунтов, их теплофизических характеристиках, данные термометрии, размеры исследуемого основания здания, параметры испарителя СОУ. Среднемесячные значения температуры воздуха и скорости ветра (табл. 1) были взяты из [8] и аппроксимированы линейными зависимостями между месяцами. На рис. 2 представлен годовой ход среднемесячной температуры воздуха, где началу отсчета времени соответствует середина января, а в табл. 2 и на рис. 3 – натурные данные температур по глубине массива грунтов, которые в вычислительном эксперименте принимаются как начальное условие.

Температура хладоносителя описывается эмпирическим уравнением [3]:

Tx =0.28*Tв–4.5,

и соответствующее ее циклическое изменение показано также на рис. 1.

Таблица 1

Среднемесячные значения температуры воздуха и скорости ветра

Параметры

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Tв, оС

-42.6

-35.9

-22.2

-7.2

5.8

15.4

uв, м/с

1.4

1.4

2.0

2.8

3.4

3.3

Параметры

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

Tв, оС

18.7

14.9

6.2

-8.0

-28.3

-39.5

uв, м/с

3.0

2.8

2.6

2.6

2.0

1.3

Рис. 2. Динамика температур:

сплошная линия – атмосферного воздуха Tв, точечная – хладона Tx

Таблица 2

Натурные данные температур по глубине массива грунтов в середине января

z, м

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

T, оС

-45.0

-3.1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

z, м

10

11

12

13

14

15

T, оС

0.0

-0.1

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

Рис. 3. Начальное распределение температур по глубине массива грунтов (сплошная кривая). Пунктирными прямыми показаны температуры начала замерзания грунтов -0.24 оС и -0.6 оС соответственно.

Коэффициенты теплоотдачи от воздуха к поверхности массива (Вт/м2×оС) как для летнего, так и для зимнего периода определяются по формуле [5]:

(8)

где uв– среднемесячная скорость ветра (см. табл. 1).

Согласно указаниям Центрального научно-исследовательского института строительства (ЦНИИС), при теплофизических расчетах промерзания-оттаивания пород величину коэффициента конвективного теплообмена рекомендуется назначать в среднем за сутки равной aв=23,26 Вт/(м2×оС) [4]. На рис. 4 представлена динамика коэффициента конвективного теплообмена воздуха с дневной поверхностью, где началу отсчета времени соответствует середина января.

Рис. 4. Динамика изменения коэффициента теплоотдачи от воздуха к дневной поверхности: сплошная кривая – по уравнению (10), пунктирная – aв=23,26 Вт/(м2×K)

Физические свойства массива грунтов приведены в табл. 3, которые приняты по нормативным значениям, где Lk, ρ, w – мощность, плотность и влажность k-го слоя грунта соответственно, а нижние индексы означают: f– фазовый переход, l– жидкая фаза, s– твердая фаза.

Таблица 3 Характеристики слоев многослойного массива грунта

Вид слоя

Lk,

м

ρ,

кг/м3

w, д.е.

Tf,

оС

`lambda`

Вт/(м×оС)

C*10-6,

Дж/(м3×оС)

`l

s

Cl

Cs

1

Насыпной слой

1.7

1880

0.20

-0.68

2.059

2.303

2.755

2.098

2

Супесь пылеватая, водонасыщенная

1.0

1630

0.51

-0.60

1.803

1.977

3.283

2.148

3

Песок пылеватый, талый, водонасыщенный

1.1

1630

0.51

-0.60

1.803

1.977

3.283

2.148

4

Песок мелкий, талый, водонасыщенный

3.0

1810

0.27

-0.24

2.000

2.217

2.860

2.127

5

Песок средней крупности, талый, водонасыщенный

1.9

1810

0.27

-0.24

2.000

2.217

2.860

2.127

6

Песок мелкий, твердомерзлый, массивной криотекстуры

0.9

1810

0.27

-0.24

2.000

2.217

2.860

2.127

7

Песок средней крупности, мерзлый массивной криотекстуры

5.5

1810

0.27

-0.24

2.000

2.217

2.860

2.127

Расчеты температурного режима массива грунтов в основании здания были проведены при следующих входных данных: R=0.038 м, Br=2.038¸20.038 м, Bz=15 м, H=12 м. По спланированной поверхности устраивается бетонная отмостка толщиной dб = 0,1 м, для которой коэффициент теплопроводности принимается по [9] равным `lambda`б= 2,04 Вт/(м×оС).

Результаты вычислительного эксперимента и их обсуждение

Из рис. 3, рис. 4 и табл. 2 видно, что в начале расчетного времени таликовая зона находится на глубине от 1.9 до 11.4 м. Далее приведены результаты расчетов определения температурных полей массива грунтов основания здания, формирующиеся при установке испарительных термосифонов (СОУ). На рис. 5 - рис. 7 приведены картины в вертикальном осевом разрезе (изоплеты). На всех рисунках цифры у изотерм соответствуют значениям температур. Ось симметрии r=0 совпадает с осью СОУ.

Рис. 5. Конфигурации изотерм в основании здания (в середине января)

Расчетные картины на рис. 5 показывают динамику теплового режима системы "СОУ - массив грунтов", при этом за условное расстояние теплового влияния принято 20 м и условие симметрии (8) заменяется на условие отсутствия теплового потока в радиальном направлении. Видно, что с течением времени мощность таликовой зоны массива грунтов вокруг СОУ уменьшается. Её "поджимает" сверху сезонное промерзание грунта, которое оттесняет вниз фронт промерзания из-за отсутствия снежного покрова. Показано, что за пять лет эксплуатации СОУ фронт промерзания грунтов перемещается по радиальной координате до 2.8 м.

Рис. 6. Конфигурации изотерм в основании здания вокруг одиночного СОУ в середине января через (а – 1 год, б – 2 года, в – 3 года, г – 5 лет) эксплуатации

На рис. 7 представлены температурные поля между двумя СОУ, расположенными на расстоянии 4 м друг от друга. Тогда r = 2 м соответствует половине расстояния между двумя СОУ, на котором принимается условие симметрии. Понятно, что в этом случае интенсивность охлаждения намного превышает аналог одного СОУ и термический режим грунтового основания стабилизируется раньше. Расчеты показали, что через два года охлаждения фазовые фронты смыкаются. Через три года тепловое влияние СОУ со временем нивелируется, т.е. СОУ практически не влияет на температурный режим окружающего грунтового массива.

Рис. 7. Конфигурации изотерм в основании здания между двумя СОУ в середине января через (а – 1 год, б – 2 года, в – 3 года, г – 5 лет) эксплуатации

Анализ результатов вычислительного эксперимента по динамике температурного поля показал, что полное восстановление отрицательных температур происходит через 2-3 года. Только через этот период после технологического изготовления сваи, при которых вся наружная поверхность сваи будет находиться в контакте с мерзлым грунтом, следует нагружать сваи.

Таким образом, полная нагрузка может быть передана через 2 года для обычной сваи заводского изготовления или трех лет для буронабивной сваи.

Как известно, применение противоморозных добавок резко снижает скорость гидратации цемента, удлиняя процесс твердения (гидратации) и выход на проектную марку бетона на срок до одного года, а возможно и более, в зависимости от химико-минерального состава цементных смесей.

Обычные трех- и двухкальциевые портландцементы выделяют за первые 1-3 сутки 50% теплоты, образующейся при химических реакциях и сорбции воды поверхностью геля при твердении бетона при температуре 20 °С, около 75% за 7 суток и 83-92% за 6 месяцев. при устройстве буронабивных свай в мерзлых грунтах с отрицательными температурами эти сроки существенно удлиняются.

Следует отметить, что формирующиеся в результате принудительного охлаждения температурные поля не являются стационарными, их пространственно-временная изменчивость обусловлена сезонными изменениями температуры воздуха в проветриваемом подполье и условиями теплообмена на дневной поверхности под зданием, а также теплофизическими свойствами грунтов оснований и начального состояния чаши оттаивания (до начала эксплуатации здания).

Динамика сезонных изменений температуры искусственно охлаждаемого грунтового массива в интервале глубин от 1 м до 9 м приведена в табл. 4 (термотрубка 7-3, объект – спорткомплекс "Триумф").

Таблица 4

Динамика температурного поля основания здания "Триумф"

Дата

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11.02.11

-14.1

-6.3

-2.6

-1.2

-1.3

-1.4

-1.5

-1.5

-1.6

11.03.11

-13.2

-9.9

-6.8

-4.5

-3.0

-2.2

-2.1

-2.0

-1.9

10.05.11

-3.6

-5.1

-5.5

-5.2

-4.6

-3.9

-3.3

-2.9

-2.5

12.07.11

-0.4

-1.9

-2.6

-2.9

-3.0

-3.0

-2.7

-2.5

-2.2

20.09.11

0.6

-1.0

-1.5

-1.8

-2.0

-2.2

-2.1

-2.1

-2.0

24.11.11

-0.5

-0.6

-1.2

-1.5

-1.7

-1.9

-2.0

-2.0

-2.0

02.02.12

-12.1

-8.4

-5.9

-4.5

-3.9

-3.8

-3.8

-3.7

-3.5

10.05.12

-5.8

-7.1

-7.3

-6.9

-6.3

-5.7

-5.0

-4.5

-3.8

06.08.12

1.0

-1.3

-1.5

-2.0

-2.4

-2.5

-2.6

-3.2

-3.1

30.10.12

-0.2

-0.9

-1.6

-2.0

-2.3

-2.6

-2.6

-2.7

-2.7

Как видно из табл. 4, сезонное оттаивание грунтов основания под зданиями с проветриваемыми подпольями составляет порядка 1 м, а растепление грунтов вечномерзлой толщи за теплый период года прослеживается до 9 м и более.

Выводы

Для повышения надежности численного моделирования необходимо разработать математические модели, учитывающие массообменные процессы в зоне влияния сезоннодействующих охлаждающих установок с учетом условий формирования криогенных текстур в ходе принудительного промораживания грунтов. Конфигурация криотекстур мерзлых грунтов определяет их теплофизические свойства и скорость принудительного охлаждения, а также особенности теплового противодействия процессу принудительного охлаждения твердеющего бетона буронабивных свай и песчано-цементных растворов. Необходимо математически описать явления конденсации и испарения хладона, происходящие внутри сезонноохлаждающего устройства.

Исключительно важным в практическом плане является определение расчетных температур и сроков их формирования, необходимых для принятия решений по загрузке фундаментов.

Изложенные соображения касаются объектов, строящихся на площадках со сложными геокриологическими и гидрогеологическими условиями, стабилизация температурного режима в основании которых в требуемые сроки может быть обеспечена только сезоннодействующими охлаждающими установками в комплексе с работами по предпостроечному водопонижению и устройству теплорегулирующих экранов по всей площади зданий и сооружений, строящихся по первому принципу с проветриваемыми подпольями.

Библиография
1.
Будак Б.М., Соловьева Е.Н., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // Журнал вычисл. математики и матем. физики, 1965. – Т. 5, №5. – С. 828–840.
2.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.
3.
Макаров В.И. Термосифоны в северном строительстве. – Новосибирск: Наука, 1985. – 169 с.
4.
Павлов А.В. Теплообмен почвы с атмосферой в северных и умеренных широтах территории СССР. – Якутск: Якутское книжное изд-во, 1975. – 304 с.
5.
Порхаев Г.В., Щелоков В.К. Прогнозирование температурного режима вечномерзлых грунтов на застраиваемых территориях. – Л.: Стройиздат, Ленингр. отделение, 1980. – 112 с.
6.
Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерных задач Стефана // Журнал вычислит. математики и матем. физики, 1965. – Т. 5, №5. – С. 816–827.
7.
Самарский А.А., Фрязинов И.В. О сходимости локально-одномерной схемы решения многомерного уравнения теплопроводности на неравномерных сетках // Журнал вычислит. математики и матем. физики, 1971. – Т. 11, №3. – С. 642–657.
8.
СНиП 23-01-99. Строительная климатология. Госстрой России. – М.: ГУП ЦПП, 2000. – 59 с.
9.
СНиП II-3-79*. Строительная теплотехника. Госстрой России. – М.: ГУП ЦПП, 1998. – 29 с.
10.
Степанов А.В., Рожин И.И., Попенко Ф.Е. Расчет управления температурным режимом массива грунтов в основании здания // Инженерно-физический журнал, 2011. – Т. 84, №4. – С. 867–872.
11.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 736 с.
12.
Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, 1967. – 196 с.
References (transliterated)
1.
Budak B.M., Solov'eva E.N., Uspenskii A.B. Raznostnyi metod so sglazhivaniem koeffitsientov dlya resheniya zadachi Stefana // Zhurnal vychisl. matematiki i matem. fiziki, 1965. – T. 5, №5. – S. 828–840.
2.
Kalitkin N.N. Chislennye metody. – M.: Nauka, 1978. – 512 s.
3.
Makarov V.I. Termosifony v severnom stroitel'stve. – Novosibirsk: Nauka, 1985. – 169 s.
4.
Pavlov A.V. Teploobmen pochvy s atmosferoi v severnykh i umerennykh shirotakh territorii SSSR. – Yakutsk: Yakutskoe knizhnoe izd-vo, 1975. – 304 s.
5.
Porkhaev G.V., Shchelokov V.K. Prognozirovanie temperaturnogo rezhima vechnomerzlykh gruntov na zastraivaemykh territoriyakh. – L.: Stroiizdat, Leningr. otdelenie, 1980. – 112 s.
6.
Samarskii A.A., Moiseenko B.D. Ekonomichnaya skhema skvoznogo scheta dlya mnogomernykh zadach Stefana // Zhurnal vychislit. matematiki i matem. fiziki, 1965. – T. 5, №5. – S. 816–827.
7.
Samarskii A.A., Fryazinov I.V. O skhodimosti lokal'no-odnomernoi skhemy resheniya mnogomernogo uravneniya teploprovodnosti na neravnomernykh setkakh // Zhurnal vychislit. matematiki i matem. fiziki, 1971. – T. 11, №3. – S. 642–657.
8.
SNiP 23-01-99. Stroitel'naya klimatologiya. Gosstroi Rossii. – M.: GUP TsPP, 2000. – 59 s.
9.
SNiP II-3-79*. Stroitel'naya teplotekhnika. Gosstroi Rossii. – M.: GUP TsPP, 1998. – 29 s.
10.
Stepanov A.V., Rozhin I.I., Popenko F.E. Raschet upravleniya temperaturnym rezhimom massiva gruntov v osnovanii zdaniya // Inzhenerno-fizicheskii zhurnal, 2011. – T. 84, №4. – S. 867–872.
11.
Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki. – M.: Nauka, 1977. – 736 s.
12.
Yanenko N.N. Metod drobnykh shagov resheniya mnogomernykh zadach matematicheskoi fiziki. – Novosibirsk: Nauka, 1967. – 196 s.
Ссылка на эту статью

Просто выделите и скопируйте ссылку на эту статью в буфер обмена. Вы можете также попробовать найти похожие статьи

Другие сайты издательства:
Официальный сайт издательства NotaBene / Aurora Group s.r.o.
Сайт исторического журнала "History Illustrated"